Решение и ответы заданий Варианта №29 из сборника ЕГЭ 2024 по математике (профильный уровень) под редакцией И.В. Ященко 36 вариантов ФИПИ. ГДЗ профиль для 11 класса. Полный разбор.
Задание №17 долго оформлять, решу его позже, если будет время и желание. Решены те задания, у которых кнопка «Смотреть решение» зелёная.
Задание 1.
Сторона ромба равна 10, острый угол равен 30°. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
Задание 2.
На координатной плоскости изображены векторы \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} и \overrightarrow{c}. Найдите скалярное произведение \overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}).
Задание 3.
Из единичного куба вырезана правильная четырёхугольная призма со стороной основания 0,4 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.
Задание 4.
Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 7, но не дойдя до отметки 10.
Задание 5.
В классе 26 учащихся, среди них три подружки – Оля, Аня и Юля. Класс случайным образом разбивают на две равные группы. Найдите вероятность того, что все три девочки окажутся в одной группе.
Задание 6.
Решите уравнение tg\frac{\pi(2x+5)}{6}=\sqrt{3}. В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
Задание 7.
Найдите \frac{g(10–x)}{g(10+x)}, если g(x)=\sqrt[3]{x(20-x)}, при |x| ≠ 10.
Задание 8.
На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Задание 9.
Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле A(\omega)=\frac{A_{0}\omega_{p}^{2}}{|\omega_{p}^{2}–\omega^{2}|}, где ω – частота вынуждающей силы (в с-1), A0 – постоянный параметр, ωp = 345 с-1 – резонансная частота. Найдите максимальную частоту ω, меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину A0 не более чем на 12,5%. Ответ дайте в с-1.
Задание 10.
Расстояние между городами А и В равно 180 км. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 3 часа следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С. Ответ дайте в километрах.
Задание 11.
На рисунке изображён график функции f(x) = b + logaх. Найдите f(81).
Задание 12.
Найдите точку максимума функции y = (х + 35)е35–х.
Задание 13.
а) Решите уравнение 16log_{9}^{2}x+4log_{\frac{1}{3}}x-3=0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0,5; 5].
Задание 14.
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 точка К – середина ребра АА1, a АВ = АА1. Плоскость α проходит через точки К и В1 параллельно прямой ВС1.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро А1С1 в отношении 1:2.
б) Найдите расстояние от точки А1 до плоскости α, если АВ = 6.
Задание 15.
Решите неравенство 25\cdot 4^{\frac{1}{2}–\frac{2}{x}}-133\cdot 10^{–\frac{2}{x}}+4\cdot 5^{1–\frac{4}{x}}\le 0.
Задание 16.
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 650 тыс. рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:
– в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов на сумму 650 тыс. рублей долг возрастает на 19% по сравнению с концом предыдущего года;
– в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2035 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
Задание 17.
В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания ВС. Внутри трапеции взяли точку М так, что углы ВАМ и CDM прямые.
а) Докажите, что ВМ = СМ.
б) Найдите угол АВС, если угол BCD равен 64°, а расстояние от точки М до прямой ВС равно стороне AD.
Задание 18.
Найдите все такие значения а, при каждом из которых уравнение
\sqrt{5-7x}\cdot ln(9x^{2}-a^{2})=\sqrt{5-7x}\cdot ln(3x+a)
имеет ровно один корень.
Задание 19.
На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 8, а среднее арифметическое семи наибольших равно 14.
а) Может ли наибольшее из этих одиннадцати чисел равняться 16?
б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 10?
в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех одиннадцати чисел.
Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2024. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В. Ященко. 36 вариантов.