Решение и ответы заданий варианта МА2300109 СтатГрад 31 января 2024 года ЕГЭ 2024 по математике (профильный уровень). Тренировочная работа №1 по математике 10 класс. ГДЗ профиль. statgrad.org.
Все материалы получены из открытых источников и публикуются после окончания тренировочного экзамена в учебных целях.
Задания №13,16,17,18 долго оформлять, решу их позже, если будет время и желание. Решены те задания, у которых кнопка «Смотреть решение» зелёная.
Задание 1.
Площадь треугольника ABC равна 72. Отрезок DE – средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.
Задание 2.
Найдите длину вектора \overrightarrow{a}(−5; 12).
Задание 3.
Площадь поверхности куба равна 128. Найдите его диагональ.
Задание 4.
На олимпиаде по математике 400 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 140 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
Задание 5.
Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 35 % яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 15 % яиц высшей категории. Всего высшую категорию получают 30 % яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Задание 6.
Решите уравнение \frac{4}{15}x^{2}=21\frac{3}{5}. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Задание 7.
Найдите значение выражения \frac{46sin 62^{\circ } \cdot cos62^{\circ }}{sin124^{\circ }}.
Задание 8.
На рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции f(x)?
Задание 9.
Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трёх однородных соосных цилиндров: центрального массой m = 11 кг и радиусом R = 4 см и двух боковых с массами M = 6 кг и с радиусами R + h. При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кг⋅см2, даётся формулой I=\frac{(m+2M)R^{2}}{2}+M(2Rh+h^{2}). При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения 472 кг⋅см2? Ответ дайте в сантиметрах.
Задание 10.
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 154 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A. Ответ дайте в км/ч.
Задание 11.
На рисунке изображены графики функций f(x) = −3x − 4 и g(x) = ax2 + bx + c, которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Задание 12.
Найдите точку минимума функции y=\sqrt{x^{2}+10x+32}.
Задание 13.
а) Решите уравнение (1–tg^{2}x)\sqrt{5sinx}=0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [–3\pi;–\frac{3\pi}{2}].
Задание 14.
Основание пирамиды DABC – прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине C . Высота пирамиды проходит через точку В. Точки М и N – середины рёбер AD и BC соответственно.
а) Докажите, что MN является биссектрисой угла ВМС.
б) Найдите угол между прямыми BD и MN, если BD = 4√2, AC = 12.
Задание 15.
Решите неравенство \frac{(x–3)(x–5)(x–6)}{(x+3)(x+5)(x+6)}>1.
Задание 16.
По бизнес-плану вкладчик предполагает вложить в четырёхлетний проект целое число млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 20 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов требуются дополнительные вложения: по 10 млн рублей в первый и второй годы, а также по 15 млн в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором общая сумма средств вкладчика к началу третьего года станет больше 140 млн, а к концу проекта – больше 220 млн рублей.
Задание 17.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём диаметром окружности является его диагональ AC. Также известно, что в ABCD можно вписать окружность.
а) Докажите, что отрезки AC и BD перпендикулярны.
б) Найдите радиус вписанной окружности четырёхугольника ABCD, если AC = 34 и BD = 30.
Задание 18.
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
\begin{cases} (4x^{2}+3a^{2}+40x-12a+112)((x-1)^{2}+(a-4)^{2}-4)=0, \\ (x+2)^{2}+(a+2)^{2}=25 \end{cases}
по имеет ровно одно решение.
Задание 19.
а) Может ли десятичная запись произведения трёх последовательных трёхзначных чисел оканчиваться на 500?
б) Может ли десятичная запись произведения трёх последовательных трёхзначных чисел оканчиваться на 1250?
в) Найдите все такие натуральные числа n, что каждое из чисел n, n +1 и n + 2 трёхзначное, а десятичная запись их произведения n(n +1)(n + 2) оканчивается на 4000.
Источник варианта: СтатГрад/statgrad.org.