Решение №26 Расстояние между городами А и В равно 300 км. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 1 час следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист

Расстояние между городами А и В равно 300 км. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 1 час следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С. Ответ дайте в километрах.

Источники: fipi, os.fipi.

Решение:

Обозначим за S расстояние от А до С, а за v – скорость автомобиля. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{S}{v}-\frac{S}{90}=1 \\ \frac{300}{v}-\frac{2S}{90}=1 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим v:

$\frac{300}{v}-\frac{2S}{90}=1\\\frac{300}{v}=1+\frac{2S}{90}\\\frac{300}{v}=1+\frac{S}{45}\\\frac{300}{v}=\frac{45+S}{45}\\v\cdot (45+S)=300\cdot 45\\v=\frac{300\cdot 45}{45+S}$

Подставим значение v в первое уравнение:

$\frac{S}{v}-\frac{S}{90}=1 \\\frac{S}{\frac{300\cdot 45}{45+S}}-\frac{S}{90}=1\\\frac{S\cdot (45+S)}{300\cdot 45}-\frac{S}{90}=1\:{\color{Blue} |\cdot 90}\\\frac{S\cdot (45+S)}{150}-S=90 \:{\color{Blue} |\cdot 150} \\S\cdot (45+S)-150S=90\cdot 150\\S^{2}+45S-150S-90\cdot 150=0\\S^{2}-105S-13500=0$

D = (–105)² – 4·1·(–13500) = 11025 + 54000 = 65025 = 255² $S_{1}=\frac{105+255}{2\cdot 1}=180\\S_{2}=\frac{105–255}{2\cdot 1}=–75\:{\color{Blue} <0\:\notin }$

Ответ: 180.