В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания ВС. Внутри трапеции взяли точку М так, что углы ВАМ и CDM прямые.
а) Докажите, что ВМ = СМ.
б) Найдите угол ABC, если угол BCD равен 57°, а расстояние от точки М до прямой ВС равно стороне AD.
Источник: ЕГЭ 2020 Ященко (36 вар)
Решение:
АВСD – трапеция, BC = 2AD, ∠BAM = ∠CDM = 90°:
а) Доказать: ВМ = СМ.
Продолжим прямые АВ и ВС до их точки пересечения К:
Треугольники ВСК и ADK подобны, по двум равным углам (∠К – общий, ∠АВК = ∠ВСК – как соответственные при AD||BC и секущей КС) с коэффициентом подобия равным 2 (т.к BC = 2AD). Значит А и D середины сторон ВК и СК соответственно.
Отсюда АМ и ВК являются серединными перпендикулярами треугольника ВСК, а значит точка М центр описанной около треугольника окружности. Тогда ВМ и СМ радиусы этой окружности и они равны.
Что и требовалось доказать.
б) ∠ВСD = 57º, МН = AD. Найти: ∠АВС.
Построим МН – расстояние от точки М до прямой ВС:
МН выходит из центра окружности и перпендикулярна стороне ВС, значит это третий серединный перпендикуляр, тогда ВН = НС. Т.к. ВС = 2AD, то AD = ВН = НС, и по условию пункта б) AD = НМ.
Получаем, что треугольники ВНМ и СНМ прямоугольные равнобедренные. ∠ВМН = ∠СМН = 45°, а ∠ВМС равен их сумме – 90°. ∠ВСМ центральный он в два раза больше вписанного ∠ВКС опирающегося на туже дугу ‿ВС:
∠BKC=\frac{\angle BMC}{2}=\frac{90°}{2}=45°
Сумма углов треугольника ВСМ равна 180°. Найдём ∠АВС:
∠АВС = 180° – ∠ВСК – ∠СКВ = 180° – 45° – 57° = 78°
Ответ: 78°.