В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания ВС. Внутри трапеции взяли точку М так, что углы ВАМ и CDM прямые.

а) Докажите, что ВМ = СМ.
б) Найдите угол ABC, если угол BCD равен 57°, а расстояние от точки М до прямой ВС равно стороне AD.

Источник задания: ЕГЭ 2020 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов.

Решение:

    АВСD – трапеция, BC = 2AD, ∠BAM = ∠CDM = 90°:

В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания ВС. Внутри трапеции взяли точку М так, что углы ВАМ и CDM прямые.

а) Доказать: ВМ = СМ.
    Продолжим прямые АВ и ВС до их точки пересечения К:

В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания ВС. Внутри трапеции взяли точку М так, что углы ВАМ и CDM прямые. а) Докажите, что ВМ = СМ.

    Треугольники ВСК и ADK подобны, по двум равным углам (∠К – общий, ∠АВК = ∠ВСК – как соответственные при AD||BC и секущей КС) с коэффициентом подобия равным 2 (т.к BC = 2AD). Значит А и D середины сторон ВК и СК соответственно.
    Отсюда АМ и ВК являются серединными перпендикулярами треугольника ВСК, а значит точка М центр описанной около треугольника окружности. Тогда ВМ и СМ радиусы этой окружности и они равны.

    Что и требовалось доказать.

б) ∠ВСD = 57º, МН = AD. Найти: ∠АВС.
    Построим МНрасстояние от точки М до прямой ВС:

Найдите угол ABC, если угол BCD равен 57°, а расстояние от точки М до прямой ВС равно стороне AD.

    МН выходит из центра окружности и перпендикулярна стороне ВС, значит это третий серединный перпендикуляр, тогда ВН = НС. Т.к. ВС = 2AD, то AD = ВН = НС, и по условию пункта б) AD = НМ.
    Получаем, что треугольники ВНМ и СНМ прямоугольные равнобедренные. ∠ВМН = ∠СМН = 45°, а ∠ВМС равен их сумме –  90°. ∠ВСМ центральный он в два раза больше вписанного ∠ВКС опирающегося на туже дугу ‿ВС:

blank

    Сумма углов треугольника ВСМ равна180°. Найдём ∠АВС:

∠АВС = 180° – ∠ВСК – ∠СКВ = 180° – 45° – 57° = 78°

Ответ: 78°.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 0 / 5. Количество оценок: 0

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставляйте контакт, если хотите, что бы я вам ответил.