В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 точка К – середина ребра АА1, a АВ = АА1. Плоскость α проходит через точки К и В1 параллельно прямой ВС1.

а) Докажите, что плоскость α делит ребро А1С1 в отношении 1:2.
б) Найдите расстояние от точки А1 до плоскости α, если АВ = 6.

Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)

Решение:

    У правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 в основаниях лежат равносторонние треугольники (все стороны которых равны, углы между сторонами основания составляют 60°) ΔАВС = ΔА1В1С1
    Что бы построить плоскость α проходящую через точки К и В1 параллельно прямой ВС1, достроим правильную треугольную призму АВСА1В1С1 до четырёхугольной призмы АВСDА1В1С1D1, так что: ΔАВС = ΔADC = ΔAD1C.
    Проведём в прямоугольнике ADA1D1 диагональ AD1||BC1. Проведём в ΔАА1D1 прямую КM||AD1, которая так же будет являться средней линией (т.к. К середина АА1, значит и M середина A1D). Соединив точки B1, K, M получим плоскость α = (KMB1), которая делит ребро А1С1 на две части в точке Р.
    а) Доказать: \frac{A_{1}P}{PC_{1}}=\frac{1}{2}.

а) Докажите, что плоскость α делит ребро А1С1 в отношении 1:2.

    ΔА1MP подобен ΔВ1С1Р по двум равным углам: ∠А1РM = ∠B1PC1 как вертикальные, ∠MA1P = ∠B1C1P, как накрест лежащие при А1D1||В1С1 и секущей А1С1. Соответствующие стороны пропорциональны, запишем их отношение:

\frac{A_{1}P}{PC_{1}}=\frac{A_{1}M}{B_{1}C_{1}}

    В данной призме стороны А1D1 = B1C1, тогда отношение принимает вид:

\frac{A_{1}P}{PC_{1}}=\frac{A_{1}M}{A_{1}D_{1}}

    Зная, что КM средняя линия, то А1М = MD1, тогда:

A1D1 = A1M + MD1 = A1M + A1M = 2A1M

    Подставим в отношение:

\frac{A_{1}P}{PC_{1}}=\frac{A_{1}M}{2A_{1}M}=\frac{1}{2}

    Что и требовалось доказать.
    б) АВ = АА1 = 6. Найти: расстояние h от точки А1 до плоскости α = (KMB1).

б) Найдите расстояние от точки А1 до плоскости α, если АВ = 6.

    Искомое расстояние h будет являться высотой пирамиды А1KMB1. Выразим объём данной пирамиды 2 способами (через разные высоты) и найдём от туда h:

V_{A_{1}KMB_{1}}=\frac{1}{3}\cdot S_{\Delta KMB_{1}}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot S_{\Delta A_{1}MB_{1}}\cdot A_{1}K\\\frac{1}{3}\cdot S_{\Delta KMB_{1}}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot S_{\Delta A_{1}MB_{1}}\cdot A_{1}K\\S_{\Delta KMB_{1}}\cdot h=S_{\Delta A_{1}MB_{1}}\cdot A_{1}K\\h=\frac{S_{\Delta A_{1}MB_{1}}\cdot A_{1}K}{S_{\Delta KMB_{1}}}

    Все рёбра в данной четырёхугольной призме равны 6. А1B1 = 6, А1К = 6/2 = 3 и А1M = 6/2 = 3, как половины равных сторон.
    По теореме Пифагора в прямоугольном ΔKA1B1 найдём гипотенузу КB1:

KB_{1}=\sqrt{A_{1}K^{2}+A_{1}B_{1}^{2}}=\sqrt{3^{2}+6^{2}}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}

    По теореме Пифагора в прямоугольном ΔМA1К найдём гипотенузу МК:

МК=\sqrt{A_{1}К^{2}+A_{1}M^{2}}=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}

    Найдём ∠MA1B1:

∠MA1B1 = ∠D1A1C1 + ∠C1A1B1 = 60° + 60° = 120°

    По теореме косинусов для ΔMA1B1 найдём MB1:

MB12 = A1M2 + A1B12 – 2·A1M·A1B1·cos∠MA1B1
MB12 = 32 + 62 – 2·3·6·cos 120° = 9 + 36 – 36·(-\frac{1}{2})= 45 + 18 = 63
MB1 = \sqrt{63}

    Проверим по обратной теореме Пифагора ΔMKB1:

МВ12 = МК2 + КВ12
\sqrt{63}^{2}=\sqrt{18}^{2}+\sqrt{45}^{2}\\63=18+45\\63=63

    Верно, значит ΔMKB1 прямоугольный с прямым ∠МКВ1
    Подставляем найденные значения и находим искомое расстояние h:

h=\frac{S_{\Delta A_{1}MB_{1}}\cdot A_{1}K}{S_{\Delta KMB_{1}}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot A_{1}M\cdot A_{1}B_{1}\cdot sin\angle MA_{1}B_{1}\cdot A_{1}K_{1}}{\frac{1}{2}\cdot KM\cdot KB_{1}}=\frac{3\cdot 6\cdot sin120^{\circ } \cdot 3}{\sqrt{18}\cdot \sqrt{45}}=\frac{54\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{3\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{5}}=\frac{27\cdot \sqrt{3}}{9\cdot \sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{3}\cdot{\color{Blue}\sqrt{10}}}{\sqrt{10} \cdot{\color{Blue}\sqrt{10}}}=\frac{3\sqrt{30}}{10}=0,3\sqrt{30}

Ответ: б)0,3\sqrt{30}.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4 / 5. Количество оценок: 10

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.