Решение №2809 В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 точка К – середина ребра АА1, a АВ = АА1.

Решение:

    У правильной треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ в основаниях лежат равносторонние треугольники (все стороны которых равны, углы между сторонами основания составляют 60°) ΔАВС = ΔА₁В₁С₁. 
    Что бы построить плоскость α проходящую через точки К и В₁ параллельно прямой ВС₁, достроим правильную треугольную призму АВСА₁В₁С₁ до четырёхугольной призмы АВСDА₁В₁С₁D₁, так что: ΔАВС = ΔADC = ΔAD₁C.
    Проведём в прямоугольнике ADA₁D₁ диагональ AD₁||BC₁. Проведём в ΔАА₁D₁ прямую КM||AD₁, которая так же будет являться средней линией (т.к. К середина АА₁, значит и M середина A₁D). Соединив точки B₁, K, M получим плоскость α = (KMB₁), которая делит ребро А₁С₁ на две части в точке Р.
    а) Доказать: \frac{A_{1}P}{PC_{1}}=\frac{1}{2}.

    ΔА₁MP подобен ΔВ₁С₁Р по двум равным углам: ∠А₁РM = ∠B₁PC₁ как вертикальные, ∠MA₁P = ∠B₁C₁P, как накрест лежащие при А₁D₁||В₁С₁ и секущей А₁С₁. Соответствующие стороны пропорциональны, запишем их отношение:

\frac{A_{1}P}{PC_{1}}=\frac{A_{1}M}{B_{1}C_{1}}

    В данной призме стороны А₁D₁ = B₁C₁, тогда отношение принимает вид:

\frac{A_{1}P}{PC_{1}}=\frac{A_{1}M}{A_{1}D_{1}}

    Зная, что КM средняя линия, то А₁М = MD₁, тогда:

A₁D₁ = A₁M + MD₁ = A₁M + A₁M = 2A₁M

    Подставим в отношение:

\frac{A_{1}P}{PC_{1}}=\frac{A_{1}M}{2A_{1}M}=\frac{1}{2}

    Что и требовалось доказать.
    б) АВ = АА₁ = 6. Найти: расстояние h от точки А₁ до плоскости α = (KMB₁).

    Искомое расстояние h будет являться высотой пирамиды А₁KMB₁. Выразим объём данной пирамиды 2 способами (через разные высоты) и найдём от туда h:

V_{A_{1}KMB_{1}}=\frac{1}{3}\cdot S_{\Delta KMB_{1}}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot S_{\Delta A_{1}MB_{1}}\cdot A_{1}K\\\frac{1}{3}\cdot S_{\Delta KMB_{1}}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot S_{\Delta A_{1}MB_{1}}\cdot A_{1}K\\S_{\Delta KMB_{1}}\cdot h=S_{\Delta A_{1}MB_{1}}\cdot A_{1}K\\h=\frac{S_{\Delta A_{1}MB_{1}}\cdot A_{1}K}{S_{\Delta KMB_{1}}}

    Все рёбра в данной четырёхугольной призме равны 6. А₁B₁ = 6, А₁К = 6/2 = 3 и А₁M = 6/2 = 3, как половины равных сторон.
    По теореме Пифагора в прямоугольном ΔKA₁B₁ найдём гипотенузу КB₁:

KB_{1}=\sqrt{A_{1}K^{2}+A_{1}B_{1}^{2}}=\sqrt{3^{2}+6^{2}}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}

    По теореме Пифагора в прямоугольном ΔМA₁К найдём гипотенузу МК:

МК=\sqrt{A_{1}К^{2}+A_{1}M^{2}}=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}

    Найдём ∠MA₁B₁:

∠MA₁B₁ = ∠D₁A₁C₁ + ∠C₁A₁B₁ = 60° + 60° = 120°

    По теореме косинусов для ΔMA₁B₁ найдём MB₁:

MB₁² = A₁M² + A₁B₁² – 2·A₁M·A₁B₁·cos∠MA1B1
MB₁² = 3² + 6² – 2·3·6·cos 120° = 9 + 36 – 36·(-\frac{1}{2})= 45 + 18 = 63
MB₁ = \sqrt{63}

    Проверим по обратной теореме Пифагора ΔMKB₁:

МВ₁² = МК² + КВ₁²
\sqrt{63}^{2}=\sqrt{18}^{2}+\sqrt{45}^{2}\\63=18+45\\63=63

    Верно, значит ΔMKB₁ прямоугольный с прямым ∠МКВ₁. 
    Подставляем найденные значения и находим искомое расстояние h:

h=\frac{S_{\Delta A_{1}MB_{1}}\cdot A_{1}K}{S_{\Delta KMB_{1}}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot A_{1}M\cdot A_{1}B_{1}\cdot sin\angle MA_{1}B_{1}\cdot A_{1}K_{1}}{\frac{1}{2}\cdot KM\cdot KB_{1}}=\frac{3\cdot 6\cdot sin120^{\circ } \cdot 3}{\sqrt{18}\cdot \sqrt{45}}=\frac{54\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{3\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{5}}=\frac{27\cdot \sqrt{3}}{9\cdot \sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{3}\cdot{\color{Blue}\sqrt{10}}}{\sqrt{10} \cdot{\color{Blue}\sqrt{10}}}=\frac{3\sqrt{30}}{10}=0,3\sqrt{30}

Ответ: б)0,3\sqrt{30}.