Основание пирамиды SABC – прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине С. Высота пирамиды проходит через точку В.
а) Докажите, что середина ребра SA равноудалена от вершин В и С.
б) Найдите угол между плоскостью SBC и прямой, проходящей через середины рёбер ВС и SA, если известно, что BS = 2AC.
Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)
Решение:
а) Доказать DB = DC.
Пусть D – середина ребра SA. По теореме о трёх перпендикулярах прямые SС⊥АС перпендикулярны.
Медиана (SD = DA) DC прямоугольного треугольника ΔACS равна половине гипотенузы AS.
Медиана (SD = DA) DB прямоугольного треугольника ΔASВ также равна половине гипотенузы AS. Отсюда:
DB = DC
Что и требовалось доказать.
б) ВS = 2AC, найти ∠DFM.
Пусть F – середина ребра ВС, М – середина ребра SC, тогда FM – средняя линия треугольника ΔCBS. Значит, FM=\frac{BS}{2}, прямые FM и BS параллельны, то есть FM – перпендикуляр к плоскости основания пирамиды, поэтому отрезок FM перпендикулярен отрезку АС.
DM – средняя линия треугольника ΔASC, поэтому DM=\frac{AC}{2}, а прямые DM и АС параллельны, значит отрезок DM перпендикулярен отрезкам FM и ВС, следовательно DM – перпендикуляр к плоскости грани CBS.
Таким образом, ∠DFM – это искомый угол между прямой DF и плоскостью грани CBS. По условию задачи BS = 2AC, тогда:
tg\angle DFM=\frac{DM}{FM}=\frac{\frac{AC}{2}}{\frac{BS}{2}}=\frac{\frac{AC}{2}}{\frac{2AC}{2}}=\frac{\frac{AC}{2}}{\frac{AC}{1}}=\frac{AC\cdot 1}{2\cdot AC}=\frac{1}{2}=0,5\\\angle DFM=arctg 0,5
Ответ: б) arctg 0,5.