Основание пирамиды SABC – прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине С. Высота пирамиды проходит через точку В.

а) Докажите, что середина ребра SA равноудалена от вершин В и С.
б) Найдите угол между плоскостью SBC и прямой, проходящей через середины
рёбер ВС и SA, если известно, что BS = 2AC.

Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)

Решение:

а) Доказать DB = DC.

Основание пирамиды SABC – прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине С. Высота пирамиды проходит через точку В.

    Пусть D – середина ребра SA. По теореме о трёх перпендикулярах прямые SС⊥АС перпендикулярны.
     Медиана (SD = DA) DC прямоугольного треугольника ΔACS равна половине гипотенузы AS.
     Медиана (SD = DA) DB прямоугольного треугольника ΔASВ также равна половине гипотенузы AS. Отсюда:

DB = DC

     Что и требовалось доказать.

б) ВS = 2AC, найти ∠DFM.

б) Найдите угол между плоскостью SBC и прямой, проходящей через середины рёбер ВС и SA, если известно, что BS = 2AC.

    Пусть F – середина ребра ВС, М – середина ребра SC, тогда FM – средняя линия треугольника ΔCBS. Значит, FM=\frac{BS}{2}, прямые FM и BS параллельны, то есть FM – перпендикуляр к плоскости основания пирамиды, поэтому отрезок FM перпендикулярен отрезку АС.
    DM средняя линия треугольника ΔASC, поэтому DM=\frac{AC}{2}, а прямые DM и АС параллельны, значит отрезок DM перпендикулярен отрезкам FM и ВС, следовательно DM – перпендикуляр к плоскости грани CBS.
   
Таким образом, ∠DFM – это искомый угол между прямой DF и плоскостью грани CBS. По условию задачи BS = 2AC, тогда:

tg\angle DFM=\frac{DM}{FM}=\frac{\frac{AC}{2}}{\frac{BS}{2}}=\frac{\frac{AC}{2}}{\frac{2AC}{2}}=\frac{\frac{AC}{2}}{\frac{AC}{1}}=\frac{AC\cdot 1}{2\cdot AC}=\frac{1}{2}=0,5\\\angle DFM=arctg 0,5

Ответ: б) arctg 0,5.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4.9 / 5. Количество оценок: 12

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время

В отзыве оставь контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.