В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 точка К – середина ребра АА1, a АВ = АА1. Плоскость α проходит через точки К и В1 параллельно прямой ВС1. а) Докажите, что плоскость α делит ребро А1С1 в отношении 1:2. б) Найдите расстояние от точки А1 до плоскости α, если АВ = 6.
Основание пирамиды SABC — прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине С. Высота пирамиды проходит через точку В. а) Докажите, что середина ребра SA равноудалена от вершин В и С. б) Найдите угол между плоскостью SBC и прямой, проходящей через середины рёбер ВС и SA, если известно, что BS = 2AC.
В правильной призме ABCDA1B1C1D1 с основанием ABCD боковое ребро равно 2, а сторона основания равна √6. Через точку А1 перпендикулярно плоскости AB1D1 проведена прямая l. а) Докажите, что прямая l пересекает отрезок АС и делит его в отношении 2:1. б) Найдите угол между прямыми l и СD1.
В правильной призме ABCDA1B1C1D1 с основанием ABCD боковое ребро равно √3 , а сторона основания равна 2. Через точку А1 перпендикулярно плоскости AB1D1 проведена прямая l. а) Докажите, что прямая l пересекает отрезок АС и делит его в отношении 3:1. б) Найдите угол между прямыми l и СВ1.
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 на рёбрах АС и ВС отмечены соответственно точки М и N так, что AM:МС = CN:BN = 2:1. Точка К – середина ребра A1C1. а) Докажите, что плоскость MNK проходит через вершину В1. б) Найдите расстояние от точки С до плоскости KMN, если АВ = 6, АА1 = 2,4.
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 на рёбрах АС и ВС отмечены соответственно точки М и N так, что AM:МС = CN:BN = 2:1. а) Докажите, что плоскость MNB1 проходит через середину ребра A1C1. б) Найдите площадь сечения призмы АВСА1В1С1 плоскостью MNB1, если АВ = 6, АA1 = √3.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AD равна 10, высота SH равна 12. Точка К – середина бокового ребра SD. Плоскость АКВ пересекает боковое ребро SC в точке Р. а) Докажите, что площадь четырёхугольника CDKP составляет 3/4 площади треугольника SCD. б) Найдите объем пирамиды ACDKP.
Дана правильная треугольная пирамида SABC, сторона основания AB = 16, высота SH = 10, точка K – середина бокового ребра SА. Плоскость, параллельная плоскости АВС, проходит через точку K и пересекает ребра SB и SC в точках Q и P соответственно. а) Докажите, что площадь четырёхугольника BCPQ составляет 3/4 площади треугольника SBC б) Найдите объем пирамиды KBCPQ.