В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AD равна 10, высота SH равна 12. Точка К – середина бокового ребра SD. Плоскость АКВ пересекает боковое ребро SC в точке Р.

а) Докажите, что площадь четырёхугольника CDKP составляет blank площади треугольника SCD.
б) Найдите объем пирамиды ACDKP.

Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)

Решение:

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AD равна 10, высота SH равна 12. Точка К – середина бокового ребра SD.

а) В основании правильной пирамиды лежит квадрат, тогда АВ||DC ⇒ AB|| плоскости SDC (признак параллельности прямой и плоскости).
    Точка K∈ плоскости АКВ, которая пересекает плоскость SDC по прямой KP, тогда KP||AB ⇒ KP||DC ⇒ KP – средняя линяя ΔSDC (по теореме Фалеса).
   
ΔSDC подобен ΔSKP, т.к. ∠S – общий, blank. Коэффициент подобия равен k = blank.
    Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия:

blank

 

    Отсюда:

blank

    Тогда:

SCDKP = SΔSDC – SΔSKP = SΔSDC blank = blank·SΔSDC

    Что и требовалось доказать.

б) Искомая пирамида ACDKP и пирамида АSDC имеют одну и туже высоту АО.

VASDC = VSADC (одна и таже пирамида)
VSADC = blankSH·SADC = blank·12· blank·AD·DC = blank·12· blank·10·10 = blank·12·50 = 200

    Пирамиды ACDKP и АSDC отличаются только основаниями:

SCDKPblank·SΔSDC

    Тогда:

VACDKP = blank·VSADC = blank·200 = 150

Ответ: 150.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 3.8 / 5. Количество оценок: 6

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время

В отзыве оставляйте контакт для связи, если хотите, что бы я вам ответил.