В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AD равна 10, высота SH равна 12. Точка К – середина бокового ребра SD. Плоскость АКВ пересекает боковое ребро SC в точке Р.

а) Докажите, что площадь четырёхугольника CDKP составляет \frac{3}{4} площади треугольника SCD.
б) Найдите объем пирамиды ACDKP.

Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)

Решение:

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AD равна 10, высота SH равна 12. Точка К – середина бокового ребра SD.

а) В основании правильной пирамиды лежит квадрат, тогда АВ||DC ⇒ AB|| плоскости SDC (признак параллельности прямой и плоскости).
    Точка K∈ плоскости АКВ, которая пересекает плоскость SDC по прямой KP, тогда KP||AB ⇒ KP||DC ⇒ KP – средняя линяя ΔSDC (по теореме Фалеса).
   
ΔSDC подобен ΔSKP, т.к. ∠S – общий, \frac{SK}{SD}=\frac{KP}{DC}=\frac{1}{2}. Коэффициент подобия равен k = \frac{1}{2}.
    Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия:

\frac{S_{\Delta SKP}}{S_{\Delta SDC}}=k^{2}=(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}

 

    Отсюда:

S_{\Delta SKP}=\frac{1}{4}\cdot S_{\Delta SDC}

    Тогда:

SCDKP = SΔSDC – SΔSKP = SΔSDC \frac{1}{4}S_{\Delta SDC} = \frac{3}{4}·SΔSDC

    Что и требовалось доказать.

б) Искомая пирамида ACDKP и пирамида АSDC имеют одну и туже высоту АО.

VASDC = VSADC (одна и таже пирамида)
VSADC = \frac{1}{3}SH·SADC = \frac{1}{3}·12·\frac{1}{2}·AD·DC = \frac{1}{3}·12·\frac{1}{2}·10·10 = \frac{1}{3}·12·50 = 200

    Пирамиды ACDKP и АSDC отличаются только основаниями:

SCDKP = \frac{3}{4}·SΔSDC

    Тогда:

VACDKP = \frac{3}{4}·VSADC = \frac{3}{4}·200 = 150

Ответ: 150.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4 / 5. Количество оценок: 49

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.