Дана правильная треугольная пирамида SABC, сторона основания AB = 16, высота SH = 10, точка K – середина бокового ребра SА. Плоскость, параллельная плоскости АВС, проходит через точку K и пересекает ребра SB и SC в точках Q и P соответственно.

а) Докажите, что площадь четырёхугольника BCPQ составляет blank площади треугольника SBC
б) Найдите объем пирамиды KBCPQ.

Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)

Решение:

а) Доказать: SBCPQ = blank·SΔSBC
    Т.к. плоскость, параллельная плоскости АВС, проходит через точку K и пересекает ребра SB и SC в точках Q и P соответственно, то Q и P являются серединами рёбер SB и SC соответственно.

Дана правильная треугольная пирамида SABC, сторона основания AB = 16, высота SH = 10, точка K – середина бокового ребра SА.

    QP средняя линия ΔSBC. ΔSBC подобен ΔSQP, т.к. ∠S – общий, blank. Коэффициент подобия равен k = blank.
    Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия:

blank

    Отсюда:

blank

    Тогда:

SBCPQ = SΔSBC – SΔSQP = SΔSBC blank = blank·SΔSBC

    Что и требовалось доказать.

б) АВ = 16, SH = 10. Найти VKBCPQ.

Дана правильная треугольная пирамида SABC, сторона основания AB = 16, высота SH = 10

    Найдём объём пирамиды SABC:

blank

(площадь основания нашли по формуле площади равностороннего треугольника)

    Высота пирамиды КBCPQ в два раза меньше высоты пирамиды SABC проведённой из вершины А (т.к. ΔАВС||ΔKQP, KQ, KP, QP – средние линии). 
    Площадь основания пирамиды КBCPQ составляет blank·SΔSBC (площадь основания пирамиды SABC).
    Найдём объём пирамиды КBCPQ:

blank

Ответ: 80√3.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 0 / 5. Количество оценок: 0

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставляйте контакт, если хотите, что бы я вам ответил.