В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 на рёбрах АС и ВС отмечены соответственно точки М и N так, что AM:МС = CN:BN = 2:1.

а) Докажите, что плоскость MNB1 проходит через середину ребра A1C1.
б) Найдите площадь сечения призмы АВСА1В1С1 плоскостью MNB1, если АВ = 6, АA1 = √3.

Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)

Решение:

а) Доказать: А1Р1 = Р1С1.
    По условию, призма треугольная и правильная, значит в основании равносторонний треугольник, все стороны равны, и все углы равны по 60°. Так же по условию AM:МС = CN:BN = 2:1, обозначим:

AM = CN = 2х
МС = BN = х
AC = AB = BC = 2x + x = 3xВ правильной треугольной призме АВСА1В1С1 на рёбрах АС и ВС отмечены соответственно точки М

    Построим проекцию BP плоскости MNB1P1 на основание АВС, тогда В1 → В, Р1 → Р, B1P1||BP, MN||BP.
    В ΔАВС используем теорему Фалеса: параллельные прямые MN и BP на сторонах угла С отсекают подобные отрезки:

Докажите, что плоскость MNB1 проходит через середину ребра A1C1.

\frac{CN}{NB}=\frac{CM}{MP}\\\frac{2x}{x}=\frac{x}{MP}\\2=\frac{x}{MP}\\MP=\frac{x}{2}

    Тогда:

РС = МP + CM = \frac{x}{2}+x=\frac{3x}{2}

AP = AC – PC = 3x\frac{3x}{2} = \frac{3x}{2}

    Получаем: 

АР = РС

    Значит и А1Р1 = Р1С1.
    Что и требовалось доказать.
б) Найти площадь MNB1Р1, если АВ = 6, АA1 = √3.
    Найдём чему в наших обозначениях равен х:

АВ = 6
3х = 6
х = \frac{6}{3} = 2

    MNB1Р1 – трапеция1В1||MN, B1N∦Р1M).
    В ΔMNC по теореме косинусов найдём MN:

MN2 = MC2 + CN2 – 2·MC·CN·cos∠MCN
MN2 = x2 + (2x)2 – 2·x·2x·cos60°
MN2 = 22 + (2·2)2 – 2·2·2·2·\frac{1}{2}
MN2 = 4 + 16 – 8 = 12
MN = \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}

    В ΔР1С1B1 (он прямоугольный, т.к. В1Р1 медиана, высота и биссектриса) найдём Р1B1:

sin\angle P_{1}C_{1}B_{1}=\frac{P_{1}B_{1}}{C_{1}B_{1}}\\sin60°=\frac{P_{1}B_{1}}{3x}\\\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{P_{1}B_{1}}{3\cdot 2}\\P_{1}B_{1}=3\sqrt{3}

    MP1 – наклонная к плоскости ВРР1В1, РМ её проекция, РМ⊥MN, значит MN⊥MP1 по теореме о трёх перпендикулярах, а т.к. MN||P1B1 MP1⊥P1B1, получаем, что МР1 высота трапеции MNB1Р1.
    Найдём в прямоугольном ΔРР1М по теореме Пифагора сторону Р1М:

Найдите площадь сечения призмы АВСА1В1С1 плоскостью MNB1, если АВ = 6, АA1 = √3.

MP_{1}=\sqrt{PP_{1}^{2}+PM^{2}}=\sqrt{AA_{1}^{2}+(\frac{x}{2})^{2}}=\sqrt{\sqrt{3}^{2}+1^{2}}=\sqrt{4}=2

    По формуле находим площадь трапеции MNB1Р1:

S_{MNB_{1}P_{1}}=\frac{MN+B_{1}P_{1}}{2}\cdot MP_{1}=\frac{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}}{2}\cdot 2=5\sqrt{3}

Ответ: б) 5√3.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 5 / 5. Количество оценок: 9

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.