В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 на рёбрах АС и ВС отмечены соответственно точки М и N так, что AM:МС = CN:BN = 2:1. Точка К – середина ребра A1C1.

а) Докажите, что плоскость MNK проходит через вершину В1.
б) Найдите расстояние от точки С до плоскости KMN, если АВ = 6, АА1 = 2,4.

Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)

Решение:

а) Доказать: В1 ∈ плоскость MNK.
    По условию, призма треугольная и правильная, значит в основании равносторонний треугольник, все стороны равны, и все углы равны по 60°. Так же по условию AM:МС = CN:BN = 2:1, обозначим:

AM = CN = 2х
МС = BN = х
AC = AB = BC = 2x + x = 3x

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 на рёбрах АС и ВС отмечены соответственно точки М и N так, что AMМС = CNBN = 21.

    Спроецируем точку К на прямую АС, тогда К → К1, К1 является серединой АС, АК1 = К1С. Проведём ВК1:

Решение №2482 В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 на рёбрах АС и ВС отмечены соответственно точки М и N так, что AM:МС = CN:BN = 2:1.
    Рассмотрим ΔАВС:

Рассмотрим ΔАВС

    В нём найдём К1С и К1М:

АК1 = К1С = blank = blank

К1М = К1С – МС = blankх = blank

    Заметим:

blank

blank

blank

    По теореме Фалеса (параллельные прямые отсекают пропорциональные отрезки), следует, MN||BK1.
    ВК1 – это проекция В1К на плоскость АВС, значит ВК1||В1К.
    Из MN||BK1 и ВК1||В1К следует, что КВ1||MN, отсюда В1 ∈ плоскость MNK.
    Что и требовалось доказать.
б) Найти расстояние от точки С до плоскости KMN, АВ = 6, АА1 = 2,4.
    Найдём чему в наших обозначениях равен х:

АВ = 6
3х = 6
х = 6/3 = 2

    ВК1 по построению является медианой, а значит и высотой в равностороннем ΔАВС, т.к. ВК1||CM, то СМ⊥NM.
    Построим искомое расстояние от точки С до плоскости КMN, это прямая СН, перпендикулярная двум прямым плоскости, прямой MN (MN⊥CM) и прямой KS (KS⊥СН):

Найдите расстояние от точки С до плоскости KMN, если АВ = 6, АА1 = 2,4.

    Рассмотрим ΔКС1S:

2 Найдите расстояние от точки С до плоскости KMN, если АВ = 6, АА1 = 2,4.
CM = x = 2
КС1 = АВ/2 = А1С1/2 = 6/2 = 3
СС1 = АА1 = 2,4

    ΔKC1S подобен ΔМСS (по двум равным углам ∠S общий, ∠С = ∠С1 = 90°), стороны пропорциональны, найдём СS:

blank

blank

blank

3·CS = 2·(2,4+ CS)
3CS = 4,8+ 2CS
3CS – 2CS = 4,8
CS = 4,8

    В прямоугольном Δ МСS по теореме Пифагора найдём гипотенузу MS:

blank

    Найдём высоту СН в прямоугольном Δ МСS:

blank

Ответ: б) blank.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 5 / 5. Количество оценок: 1

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время

В отзыве оставляйте контакт для связи, если хотите, что бы я вам ответил.