В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 на рёбрах АС и ВС отмечены соответственно точки М и N так, что AM:МС = CN:BN = 2:1. Точка К – середина ребра A1C1.
а) Докажите, что плоскость MNK проходит через вершину В1.
б) Найдите расстояние от точки С до плоскости KMN, если АВ = 6, АА1 = 2,4.
Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)
Решение:
а) Доказать: В1 ∈ плоскость MNK.
По условию, призма треугольная и правильная, значит в основании равносторонний треугольник, все стороны равны, и все углы равны по 60°. Так же по условию AM:МС = CN:BN = 2:1, обозначим:
AM = CN = 2х
МС = BN = х
AC = AB = BC = 2x + x = 3x
Спроецируем точку К на прямую АС, тогда К → К1, К1 является серединой АС, АК1 = К1С. Проведём ВК1:
Рассмотрим ΔАВС:
В нём найдём К1С и К1М:
АК1 = К1С = 
=
К1М = К1С – МС = – х =
Заметим:
По теореме Фалеса (параллельные прямые отсекают пропорциональные отрезки), следует, MN||BK1.
ВК1 – это проекция В1К на плоскость АВС, значит ВК1||В1К.
Из MN||BK1 и ВК1||В1К следует, что КВ1||MN, отсюда В1 ∈ плоскость MNK.
Что и требовалось доказать.
б) Найти расстояние от точки С до плоскости KMN, АВ = 6, АА1 = 2,4.
Найдём чему в наших обозначениях равен х:
АВ = 6
3х = 6
х = 6/3 = 2
ВК1 по построению является медианой, а значит и высотой в равностороннем ΔАВС, т.к. ВК1||CM, то СМ⊥NM.
Построим искомое расстояние от точки С до плоскости КMN, это прямая СН, перпендикулярная двум прямым плоскости, прямой MN (MN⊥CM) и прямой KS (KS⊥СН):
Рассмотрим ΔКС1S:
CM = x = 2
КС1 = АВ/2 = А1С1/2 = 6/2 = 3
СС1 = АА1 = 2,4
ΔKC1S подобен ΔМСS (по двум равным углам ∠S общий, ∠С = ∠С1 = 90°), стороны пропорциональны, найдём СS:
3·CS = 2·(2,4+ CS)
3CS = 4,8+ 2CS
3CS – 2CS = 4,8
CS = 4,8
В прямоугольном Δ МСS по теореме Пифагора найдём гипотенузу MS:
Найдём высоту СН в прямоугольном Δ МСS:
Ответ: б) .