Решение и ответы заданий Варианта №6 из сборника ЕГЭ 2023 по математике (профильный уровень) И.В. Ященко. ГДЗ профиль для 11 класса.
Задания №13,16,17,18 долго оформлять, решу их позже, если будет время и желание.
Решены те задания, у которых кнопка «Смотреть решение» зелёная.
Задание 1.
Точки А, B, С, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги АВ, ВС, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 12:4:7:13. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.
Задание 2.
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объём отсеченной треугольной призмы равен 4,5. Найдите объём исходной призмы.
Задание 3.
Вероятность того, что новый блендер в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,06. В некотором городе из 1000 проданных блендеров в течение года в мастерские по гарантии поступило 54 штуки. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
Задание 4.
Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,08. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
Задание 5.
Решите уравнение log27 35–4x = 9.
Задание 6.
Найдите значение выражения \frac{\sqrt[4]{18}\cdot \sqrt[4]{27}}{\sqrt[4]{6}}.
Задание 7.
Прямая y = 5x – 9 является касательной к графику функции y = 20x2 – 15x + с. Найдите c.
Задание 8.
Мяч бросили под острым углом α к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полёта мяча (в секундах) определяется по формуле t=\frac{2v_{0}sin\alpha}{g}. При каком значении угла α (в градусах) время полёта составит 3 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью v0 = 30 м/с2. Считайте, что ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
Задание 9.
Расстояние между пристанями А и В равно 140 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 52 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Задание 10.
На рисунке изображён график функции f(x) = ax–2. Найдите значение x, при котором f(x) = 27.
Задание 11.
Найдите точку максимума функции y = x3 + 5,5x2 – 42x + 18.
Задание 12.
а) Решите уравнение 750^{cos\:3x}+6\cdot 125^{\frac{1}{3}+cos\:3x}=5^{5cos\:3x}+30^{1+cos\:3x}.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-\frac{7\pi}{4};-\frac{3\pi}{4}].
Задание 13.
В правильную треугольную пирамиду с боковым ребром 4 и стороной основания 2√3 вписан шар. Плоскость α перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через её середину.
а) Докажите, что плоскость α и шар не имеют общих точек.
б) Найдите расстояние от центра шара до плоскости α.
Задание 14.
Решите неравенство \frac{16–3^{x}}{log_{2}^{2}(x+1,5)–4}\ge 0.
Задание 15.
В июне 2025 года Олег Вадимович планирует взять кредит в банке на 4 года. Условия его возврата таковы:
– в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 20 % от суммы долга на конец предыдущего года;
– в период с февраля по июнь каждого из 2026, 2027 и 2028 годов необходимо выплатить часть долга, причём каждый из платежей 2027 и 2028 годов в 1,6 раза больше платежа предыдущего года;
– в период с февраля по июнь 2029 года выплачивается оставшаяся сумма по кредиту, равная 1 770 240 рублей.
Найдите сумму кредита, если общие выплаты по нему составили 8 994 240 рублей.
Задание 16.
В трапеции ABCD с меньшим основанием BC точки E и F – середины сторон BC и AD соответственно. В каждый из четырехугольников ABEF и ECDF можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции ABCD, если ВС = 16, а радиус окружности, вписанной в четырехугольник ABEF, равен 7.
Задание 17.
Найдите все значения a , при каждом из которых система уравнений
\begin{cases} y^{2}-x=2a+8, \\ y^{4}+x^{2}=a^{2}-5a-6 \end{cases}
имеет ровно четыре различных решения.
Задание 18.
Из k кг материала фабрика изготавливает n одинаковых деталей массой m кг каждая, причем k = nm + q, где q кг – остатки материала, и q < m. После внедрения новых технологий на фабрике начали выпускать детали нового типа, каждая из которых стала на 0,1 кг легче детали старого типа, причем из 18 кг материала деталей нового типа стали делать на две больше, чем делали деталей старого типа из 21 кг материала.
а) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 50 новых деталей будет достаточно 18 кг материала, а на 51 – уже нет?
б) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 36 новых деталей будет достаточно 18 кг материала, а на 37 – уже нет?
в) Найдите все такие числа n, что фабрика может выпускать n новых деталей из 25 кг материала, не нарушая условия q < m.
Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2023. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В. Ященко. 36 вариантов.