Расстояние между пристанями А и В равно 140 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 52 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Источник: Ященко ЕГЭ 2023 (36 вар)
Решение:
Найдём время в пути плота:
52/4 = 13 часов
Яхта отправилась на 1 час позже, т.е. её время:
13 – 1 = 12 часов
Пусть скорость яхты х. Тогда скорость яхты по течению реки x + 4 км/ч, а против течения x – 4 км/ч.
Время потраченное на путь по течению равно \frac{140}{x+4} км, а на путь против течения \frac{140}{x–4} км. Зная что всего яхта была в пути 12 часов, составим уравнение:
\frac{140}{x+4}+\frac{140}{x–4}=12\\\frac{140\cdot (x–4)+140\cdot (x+4)}{(x+4)(x–4)}=12\\\frac{140x+140x}{x^{2}–4^{2}}=12\\\frac{280x}{x^{2}–16}=12\\(x^{2}–16)\cdot 12=280x\\12x^{2}-280x-192=0\:{\color{Blue} |: 4}\\3x^{2}-70x-48=0
D = (–70)2 – 4·3·(–48) = 5476 = 742
x_{1}=\frac{70+74}{2\cdot 3}=\frac{144}{6}=24\\x_{2}=\frac{70–74}{2\cdot 3}=\frac{–4}{6}=-\frac{2}{3}
Скорость яхты может быть только положительна, выбираем 24 км/ч.
Ответ: 24.