Решение и ответы заданий Варианта №4 из сборника ЕГЭ 2027 по математике (профильный уровень) под редакцией И.В. Ященко 36 вариантов ФИПИ школе. Профиль 11 класс.
Задания №15,18,19,20 долго оформлять, решу их позже, если будет время и желание. Решены те задания, у которых кнопка «Смотреть решение» зелёная.
Часть 1
Задание 1.
Основания трапеции равны 6 и 11. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.
Задание 2.
На координатной плоскости изображены векторы \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b}, координаты у которых – целые числа. Найдите длину вектора \overrightarrow{a} + 0,5\overrightarrow{b}.
Задание 3.
Цилиндр вписан в правильную четырёхугольную призму. Радиус основания и высота цилиндра равны 1 и 1,5 соответственно. Найдите площадь полной поверхности призмы.
Задание 4.
Из множества натуральных чисел от 16 до 40 (включительно) наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 8?
Задание 5.
Термометр измеряет температуру в помещении. Вероятность того, что температура окажется выше +23 °С, равна 0,18. Вероятность того, что температура окажется ниже +26 °С, равна 0,88. Найдите вероятность того, что температура в помещении окажется в промежутке от +23 °С до +26 °С.
Задание 6.
Случайная величина Z распределена по закону
\begin{pmatrix}0&2\\0,6&0,4\end{pmatrix}.
Найдите дисперсию случайной величины Z.
Задание 7.
Найдите корень уравнения log32 47–x = 8.
Задание 8.
Найдите значение выражения \frac{10\sin85^\circ\cdot\cos85^\circ}{\sin190^\circ}.
Задание 9.
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,4t2 + t + 0,8, где x – расстояние от точки отсчёта в метрах, t – время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 7 с.
Задание 10.
Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением p1V11,4 = p2V21,4, где p1 и p2 – давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, V1 и V2 – объём газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен 14,4 л, а давление газа равно 2 атмосферы. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 256 атмосфер? Ответ дайте в литрах.
Задание 11.
Каждый из трёх рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 18 часов. Через полтора часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, а ещё через полтора часа – третий рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?
Задание 12.
На рисунке изображены графики функций f(x) = \frac{k}{x} и g(x) = ax + b, которые пересекаются в точках A(1; 2) и B(xB; yB). Найдите xB.
Задание 13.
В январе 2031 года Игорь планирует открыть вклад на 2 года на 750 тыс. рублей, а в январе 2032 года дополнительно внести на этот вклад ещё 450 тыс. рублей. Банк в декабре каждого года действия вклада начисляет r % на сумму, находящуюся на вкладе. Начисленные проценты при этом остаются на вкладе, увеличивая сумму вклада.
Найдите r, если в январе 2033 года на вкладе должно быть 1487,7 тыс. рублей.
Часть 2
Задание 14.
а) Решите уравнение 16^{x^4+x^2+3x+1,5}-16^{x^4-x^2-3x-0,5}+3\cdot2^{4x^4+1}=0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [–4,4; 0,4].
Задание 15.
Основанием треугольной призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AC. Через точку B параллельно прямой AC провели плоскость α, которая пересекла ребро AA1 в точке N и разбила призму на два многогранника с равными объёмами.
а) Докажите, что AN:AA1 = 3:4.
б) Через точку B параллельно прямой AC провели плоскость, которая пересекла рёбра AA1 и CC1 в точках K и P соответственно так, что объём многогранника ABCKP в 3 раза меньше объёма призмы ABCA1B1C1. Найдите косинус угла между плоскостями α и BKP, если AB:AA1 = 6:7.
Задание 16.
Решите неравенство 64log24(8 – x2) – 50log22(8 – x2) + 16 ≤ 0.
Задание 17.
К блоку солнечных панелей с электродвижущей силой ε = 60 В и внутренним сопротивлением r = 2 Ом подключена зарядная станция. Сила тока в цепи при этом подключении определяется законом Ома:
I=\frac{ε}{r+R},
где R – сопротивление зарядной станции (в омах).
Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на зарядной станции, по закону Джоуля – Ленца равна P = I2R. При каком сопротивлении R зарядной станции выделяемая на ней тепловая мощность P будет наибольшей?
Задание 18.
В прямоугольнике ABCD на стороне BC отметили точку E. Лучи DB и DE делят угол ADC на три равные части. Отрезок BD пересекает отрезки AC и AE в точках O и N соответственно.
а) Докажите, что NO = \frac{AB}{5}.
б) Найдите отношение площадей фигур, на которые прямая DE делит четырёхугольник ONEC.
Задание 19.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
\sqrt{81-x^4} – 10 = ax2 – a
имеет ровно два решения.
Задание 20.
Чёрный маркер стоит 45 рублей, синий – 52 рубля, красный – 64 рубля, зелёный – 72 рубля. На 1700 рублей покупают эти маркеры, соблюдая условие: если n1, n2, n3, n4 – количество купленных маркеров какого-то цвета и n1 ≥ n2 ≥ n3 ≥ n4, то nk – nk+1 ≤ 2 (для k = 1; 2; 3).
а) Можно ли купить 25 маркеров?
б) Можно ли купить 35 маркеров?
в) Какое наибольшее количество маркеров можно купить?
Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2027. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В. Ященко. 36 вариантов.