На координатной плоскости изображены векторы \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b}, координаты у которых – целые числа. Найдите длину вектора \overrightarrow{a} + 0,5\overrightarrow{b}.
Источник: Ященко ЕГЭп 2027 (36 вариантов)
Решение:
Найдём координаты векторов, найдя на рисунке координаты точек начала и точек конца каждого вектора:
\overrightarrow{a}\left\{x_{2} -x_{1};y_{2}-y_{1} \right\}=\overrightarrow{a}\left\{-6 -5;-1-6 \right\}=\overrightarrow{a}\left\{-11;-7\right\} \\ \overrightarrow{b}\left\{x_{2} -x_{1};y_{2}-y_{1} \right\}=\overrightarrow{b}\left\{5 -1;-5-5 \right\}=\overrightarrow{b}\left\{4;-10\right\}
Найдём координаты вектора 0,5\overrightarrow{b}:
0,5\overrightarrow{b}=\left\{0,5\cdot 4;0,5\cdot (-10)\right\}=\left\{2;-5\right\}
Найдём координаты искомого вектора:
| \overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\:\left\{ x_{1}+x_{2};y_{1}+y_{2} \right\}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\:\left\{-11+2;-7+(-5) \right\}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\:\left\{-9;-12 \right\} |
Найдём длину искомого вектора:
|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|=\sqrt{(-9)^{2}+(-12)^{2}}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15
Ответ: 15.