Решение и ответы заданий варианта №2 из сборника ЕГЭ 2027 по математике (профильный уровень) под редакцией И.В. Ященко 36 вариантов ФИПИ школе. Профиль 11 класс.
Задания №15,17,18,19,20 долго оформлять, решу их позже, если будет время и желание. Решены те задания, у которых кнопка «Смотреть решение» зелёная.
Часть 1
Задание 1.
Угол равнобедренного треугольника, противолежащий основанию, равен 150°. Найдите площадь этого треугольника, если его боковая сторона равна √10.
Задание 2.
Даны векторы \overrightarrow{a}(6; –4) и \overrightarrow{b}(–2; 3). Найдите скалярное произведение векторов 0,5\overrightarrow{a}·3\overrightarrow{b}.
Задание 3.
Цилиндр описан около шара, объём которого равен 54. Найдите объём цилиндра.
Задание 4.
Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в среду в автобусе окажется больше 24 пассажиров, равна 0,38. Вероятность того, что окажется больше 20 пассажиров, равна 0,62. Найдите вероятность того, что в автобусе будет 21, 22, 23 или 24 пассажира.
Задание 5.
Футбольная команда А. дома (на своём поле) выигрывает у команды Б. с вероятностью 0,6, а играет вничью с вероятностью 0,2. В гостях (на поле команды Б.) команда А. выигрывает у команды Б. с вероятностью 0,4, а играет вничью с вероятностью 0,1. За победу команда получает 3 очка, за ничью – 1 очко. Команды А. и Б. играют два матча – на своём и чужом полях. Найдите вероятность того, что команда А. наберёт в этих матчах не менее 4 очков.
Задание 6.
Пластиковые бутылки с питьевой водой продаются поштучно либо упаковками по 4 или 12 штук. Известно, что в среднем 73 покупателя из 100 эту воду не покупают, 16 покупают поштучно, 5 человек – упаковку, в которой 4 бутылки, и 6 человек берут упаковку, в которой 12 бутылок. Найдите математическое ожидание случайной величины «количество бутылок в одной покупке».
Задание 7.
Найдите корень уравнения 25x – 5 = √125.
Задание 8.
Найдите loga (a7·√b), если logb a = –5.
Задание 9.
На рисунке изображён график y = f‘(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (–7; 7). Найдите точку минимума функции f(x), принадлежащую отрезку [–5; 3].
Задание 10.
Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t)= –10t2 + 26t + 1,2, где h – высота в метрах, t – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 10 метров?
Задание 11.
Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 400 км, одновременно выехали автомобилист и мотоциклист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 16 км меньше, чем мотоциклист. Определите скорость мотоциклиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 1 час 15 минут раньше автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
Задание 12.
На рисунке изображён график функции f(x) = kloga x. Найдите значение x, при котором f(x) = 6.
Задание 13.
В июле 2030 года Анна планирует взять кредит в банке на 4 года в размере 2,5 млн рублей. Условия его возврата таковы:
– в январе каждого года долг увеличивается на 15% от суммы долга на конец предыдущего года;
– в период с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года действия кредита долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2034 года кредит должен быть полностью погашен.
Сколько рублей составит общая сумма платежей после полного погашения кредита?
Часть 2
Задание 14.
а) Решите уравнение log0,5 (sin(x – \frac{\pi}{4}) – √2sin(x – \frac{\pi}{2})) = 0,5.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-\frac{11\pi}{2}; –4π].
Задание 15.
Основанием пирамиды SABCD является ромб ABCD, в котором ∠ABC=120° и AB=2. Высота пирамиды SO равна √7, где точка O – пересечение диагоналей основания. На ребре CS отмечена точка K такую, что угол между прямой DK и плоскостью основания равен 30°.
а) Докажите, что SK:KC = 2:1.
б) Найдите расстояние между прямыми DK и BC.
Задание 16.
Решите неравенство \frac{4^{x+1}+x-13\sqrt{x}-92}{2^{2x+1}-64}\le 2.
Задание 17.
Круизный лайнер стоит в океане бортом к волне. Под действием волн он испытывает вынужденные поперечные колебания. Зависимость амплитуды этих колебаний (в градусах) от периода волны τ (в секундах) выражается формулой
A(τ)=kθ_0\frac{τ^2}{\sqrt{(T^2-τ^2)^2+nτ^2T^2}}.
Коэффициент k определяется отношением ширины лайнера к длине волны, θ0 – угол наибольшего волнового склона, T – период свободных поперечных колебаний лайнера на тихой воде, n – числовой коэффициент (0 < n < 0,5). При каком периоде волны τ амплитуда вынужденных колебаний лайнера будет наибольшей, если T = 14,2 с?
Задание 18.
В пятиугольник ABCDE вписана окружность ω радиусом m и с центром в точке O. Четырёхугольник ABDE является равнобедренной трапецией с большим основанием BD; P – точка касания окружности ω со стороной AE.
а) Докажите, что точки C, O и P лежат на одной прямой.
б) Найдите площадь пятиугольника ABCDE, если AE = 10, AB = 15, m = 10.
Задание 19.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(a – x)1,5 + 5x – (x + \frac{1}{5}[/latex](a – x)1,5)log5 (x2 – a2) = 5a – alog5(x2 – a2)
имеет ровно один корень.
Задание 20.
Ширина одной секции забора равна 1,1 метра. Секции можно скреплять между собой только внахлёст 10 см или 40 см (накладывать одну секцию на другую) и получать забор определённой длины.
а) Можно ли из этих секций собрать забор длиной 6 метров?
б) Можно ли из этих секций собрать забор длиной 5 метров?
в) Найдите наименьшую длину L (см) забора, который можно собрать из таких секций, чтобы также можно было собрать забор любой длины L + 10n см (n ∈ N).
Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2027. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В. Ященко. 36 вариантов.