Решение Демонстрационного Варианта ЕГЭ 2027 Профиль Математика

Решение и ответы заданий демонстрационного варианта ЕГЭ 2027 по математике (профильный уровень). Проект ЕГЭ 2027. Полный разбор. Демонстрационная версия. Демовариант от ФИПИ для 11 класса профиль. КИМ.

Задания №15,18,19,20 долго оформлять, решу их позже, если будет время и желание. Решены те задания, у которых кнопка «Смотреть решение» зелёная.

Часть 1

Задание 1.

В четырёхугольник ABCD, периметр которого равен 22, вписана окружность, AB = 8. Найдите длину стороны CD.

ИЛИ

Площадь треугольника АВС равна 60, DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED.

ИЛИ

В треугольнике ABC угол C равен 54°, AD – биссектриса, угол BAD равен 23°. Найдите угол ADB. Ответ дайте в градусах.

Задание 2.

На координатной плоскости изображены векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ . Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ .

ИЛИ

Даны векторы $\overrightarrow{a}$ (2; 2) и $\overrightarrow{b}$ (2; –2). Найдите длину вектора 7 $\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$ .

ИЛИ

Даны векторы $\overrightarrow{a}$ (5; 3) и $\overrightarrow{b}$ (4; –6). Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a}$ · $\overrightarrow{b}$ .

Задание 3.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 18. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

ИЛИ

В прямоугольном параллелепипеде АВСDА₁В₁С₁D₁ известно, что АВ = 9, ВС = 6‚ АА₁ = 5. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, В₁.

ИЛИ

Цилиндр, объём которого равен 18, описан около шара. Найдите объём шара.

Задание 4.
В сборнике билетов по химии всего 80 билетов, в 56 из них встречается вопрос по теме «Углеводороды». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по теме «Углеводороды».

ИЛИ

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19 включительно.

ИЛИ

В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены из четырёх стран: 14 из Аргентины, 10 из Бразилии, 15 из Парагвая и 11 из Уругвая. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Бразилии.

Задание 5.
Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в две первые мишени и не попадёт в две последние.

ИЛИ

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того,что готовая батарейка неисправна, равна 0,2. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

ИЛИ

При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что её масса окажется меньше 810 г, равна 0,96. Вероятность того, что масса буханки окажется больше 790 г, равна 0,82. Найдите вероятность того, что масса буханки окажется больше 790г, но меньше 810 г.

Задание 6.
Организаторы лотереи выпустили 10 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом.

Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.

Задание 7.
Найдите корень уравнения 4^x–4 = 64.

ИЛИ

Найдите корень уравнения $\sqrt{99-7x}=6$ .

ИЛИ

Найдите корень уравнения log₈ (5x + 47) = 3

Задание 8.
Найдите значение выражения $\frac{3sin164^{\circ} }{sin82^{\circ}\cdot sin8^{\circ}}$ .

ИЛИ

Найдите значение выражения log_0,6 50 – log_0,6 18.

ИЛИ

Найдите значение выражения 25^2√8+3·5^–3–4√8.

Задание 9.
На рисунке изображён график у = f′(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (–10; 7). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [–2; 6].

ИЛИ

На рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено восемь точек: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈. Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции f(x) отрицательна.

ИЛИ

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Задание 10.
Автомобиль, движущийся со скоростью v₀ = 15 м/с, начал торможение с постоянным ускорением a = 2 м/с². За t секунд после начала торможения он прошёл путь S = v₀t – $\frac{at^{2}}{2}$ (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 36 метров. Ответ дайте в секундах.

ИЛИ

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора C = 8⋅10⁻⁶ Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением R = 5⋅10⁶ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе U₀ = 56 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением t = αRClog₂ $\frac{U_{0}}{U}$ (с), где α = 1,5 – постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 180 с. Ответ дайте в киловольтах.

ИЛИ

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a (в км/ч²). Скорость v (в км/ч) вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la}$ , где l – пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,3 км, развить скорость 120 км/ч. Ответ дайте в км/ч².

Задание 11.
Два велосипедиста одновременно отправились в 90-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 5 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

ИЛИ

Смешав 45%-й и 97%-й растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62%-й раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-го раствора той же кислоты, то получили бы 72%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 45%-го раствора использовали для получения смеси?

ИЛИ

Заказ на изготовление 112 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 2 детали больше?

Задание 12.
На рисунке изображён график функции вида $f(x)=\frac{k}{x}$ . Найдите значение f(10).

ИЛИ

На рисунке изображены графики функций видов f(x) = ax²+ bx + c и g(x) = kx, пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

ИЛИ

На рисунке изображён график функции вида f(x) = a^x. Найдите значение f(–3).

Задание 13.
В июле 2030 года планируется взять кредит 182 000 рублей в банке на три года. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей составит общая сумма платежей после полного погашения кредита, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами?

Часть 2

Задание 14.
а) Решите уравнение cos2x + √2cos(x + π) + 1 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [–4π; $-\frac{5\pi}{2}$ ].

ИЛИ

а) Решите уравнение 4cos(x + $\frac{\pi}{4}$ ) + 2√2cos(π – x) = 2.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [ $\frac{17\pi}{2}$ ; 10π].

Задание 15.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF точки M и K – середины боковых рёбер SA и SD соответственно.
а) Докажите, что прямые BCи MKпараллельны.
б) Найдите объём пирамиды MABF, если AB = 12, а угол между плоскостью BMC и плоскостью основания пирамиды SABCDEF равен 30º.

ИЛИ

В правильном тетраэдре ABCD все рёбра равны 6. На рёбрах AB и AD отмечены точки M и K соответственно так, что AM = AK = 4.
а) Докажите, что плоскость CMK делит тетраэдр ABCD на два многогранника, объёмы которых относятся как 5 : 4.
б) Найдите косинус угла между прямой AC и плоскостью СМК.

Задание 16.
Решите неравенство $2^{log_{2}(log_{2}x)}+log_{4}^{2}x-3\le 0$ .

ИЛИ

Решите неравенство $\frac{2\cdot 8^{x-1}}{2\cdot 8^{x-1}-1}\ge \frac{3}{8^{x}-1}+\frac{8}{64^{x}-5\cdot 8^{x}+4}$ .

Задание 17.
На заводе имеется генератор с ЭДС ε = 50 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки R (в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: $I=\frac{ε}{r +R}$ . Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля – Ленца: P = I²R. Какова максимальная тепловая мощность P, которая может быть выделена нагрузкой?

ИЛИ

Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении выражается формулой $A=kθ_{0}\cdot \frac{τ^{2}}{\sqrt{(T^{2}-τ^{2})^{2}+n\cdot τ^{2}\cdot T^{2}}}$ , где k = 0,91 – коэффициент, зависящий от отношения ширины корабля к длине волны, θ₀ = 9° – угол наибольшего волнового склона, τ – период волны (в секундах), T = 14,7 с – период свободных качаний корабля на тихой воде, n = 0,0792 – коэффициент, зависящий от величины сопротивления воды. При каком периоде волны амплитуда вынужденных колебаний корабля будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.

Задание 18.
Окружность с центром O касается боковых сторон AB и BC равнобедренного остроугольного треугольника ABC и его высоты CH.

а) Докажите, что ∠OAC = 45°.

б) Найдите длину отрезка BC, если BO = 1 и АС = 6.

ИЛИ

Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC – диаметр этой окружности.
а) Докажите, что прямая AC параллельна биссектрисе угла ANB.
б) Найдите длину отрезка NO, если известно, что AC = 10 и АВ = 24.

Задание 19.
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases} 4x-y+a=0, \\ 2|y|-x^{2}+4x=0 \end{cases}$

имеет ровно два различных решения.

ИЛИ

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

ax⁴ – 2x³ + (a³ – a)x² – (2a² – 2)x = –ax³ +2x² – (a³ – a)x + 2a² – 2

имеет ровно два различных корня.

Задание 20.
На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могутбыть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше –120.
Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно шесть карточек?
б) Может ли число красных карточек на столе быть на 90 больше числа синих карточек на столе?
в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?

ИЛИ

Есть 16 монет по 2 рубля и 29 монет по 5 рублей.
а) Можно ли этими монетами набрать сумму 175 рублей?
б) Можно ли этими монетами набрать сумму 176 рублей?
в) Какое наименьшее количество монет, каждая по 1 рублю, нужно добавить, чтобы иметь возможность набрать любую целую сумму от 1 рубля до 180 рублей включительно?

Источник варианта: fipi.ru