На координатной плоскости изображены векторы \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b}, координаты у которых – целые числа. Найдите длину вектора \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}.
Источник: Ященко ЕГЭп 2027 (36 вариантов)
Решение:
Найдём координаты векторов, найдя на рисунке координаты точек начала и точек конца каждого вектора:
\overrightarrow{a}\left\{x_{2} -x_{1};y_{2}-y_{1} \right\}=\overrightarrow{a}\left\{1 -(-6);1-5 \right\}=\overrightarrow{a}\left\{7;-4\right\} \\ \overrightarrow{b}\left\{x_{2} -x_{1};y_{2}-y_{1} \right\}=\overrightarrow{b}\left\{4 -5;-5-(-1) \right\}=\overrightarrow{b}\left\{-1;-4\right\}
Найдём координаты вектора 2\overrightarrow{b}:
2\overrightarrow{b}=\left\{2\cdot (-1);2\cdot (-4)\right\}=\left\{-2;-8\right\}
Найдём координаты искомого вектора:
| \overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\:\left\{ x_{1}+x_{2};y_{1}+y_{2} \right\}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\:\left\{7+(-2);-4+(-8) \right\}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\:\left\{5;-12 \right\} |
Найдём длину искомого вектора:
|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|=\sqrt{5^{2}+(-12)^{2}}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13
Ответ: 13.