В январе 2031 года Игорь планирует открыть вклад на 2 года на 750 тыс. рублей, а в январе 2032 года дополнительно внести на этот вклад ещё 450 тыс. рублей. Банк в декабре каждого года действия вклада начисляет r % на сумму, находящуюся на вкладе. Начисленные проценты при этом остаются на вкладе, увеличивая сумму вклада.
Найдите r, если в январе 2033 года на вкладе должно быть 1487,7 тыс. рублей.
Источник: Ященко ЕГЭп 2027 (36 вариантов)
Решение:
Пусть k = 1 + \frac{r}{100} – это коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличивается сумма за год.
После первого года (в декабре 2031) на вкладе будет:
750·k тыс. руб.
В январе 2032 Игорь добавляет 450 тыс. руб., сумма становится:
750k + 450 тыс. руб.
За второй год эта сумма увеличивается в k раз, и в январе 2033 года она равна 1487,7 тыс. руб. Получаем уравнение:
(750·k + 450)·k=1487,7\\750k^{2} + 450k=1487,7\\750k^{2} + 450k-1487,7=0\:{\color{Blue} |: 10}\\75k^{2} + 45k-148,77=0\\D=45^{2}-4\cdot 75\cdot (-148,77)=46656=216^{2}\\k_{1}=\frac{-45+216}{2\cdot 75}=\frac{171}{150}=1,14\\k_{2}=\frac{-45-216}{2\cdot 75}\:{\color{Blue} <0\:\notin }
Найдём r:
k = 1 + \frac{r}{100}
1,14 = 1 + \frac{r}{100}
1,14 – 1 = \frac{r}{100}
0,14 = \frac{r}{100}
r = 0,14·100 = 14%
Ответ: 14.