К блоку солнечных панелей с электродвижущей силой ε = 60 В и внутренним сопротивлением r = 2 Ом подключена зарядная станция. Сила тока в цепи при этом подключении определяется законом Ома:
I=\frac{ε}{r+R},
где R – сопротивление зарядной станции (в омах).
Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на зарядной станции, по закону Джоуля – Ленца равна P = I2R. При каком сопротивлении R зарядной станции выделяемая на ней тепловая мощность P будет наибольшей?
Источник: Ященко ЕГЭп 2027 (36 вариантов)
Решение:
ε = 60 В
r = 2 Ом
Подставим все известные значения в 1-ю формулу и упростим её:
I=\frac{ε}{r +R}\\I=\frac{60}{2+R}\\I\cdot (2+R)=60\\2I+IR = 60
Выразим из 2-й формулы значение R:
P=I^{2}R\\R=\frac{P}{I^{2}}
Подставим R в 1-ю формулу:
2I+I\cdot \frac{P}{I^{2}} = 60\\2I+ \frac{P}{I} = 60\:{\color{Blue} |\cdot I,I\neq 0} \\2I^{2}+P=60I\\P=60I-2I^{2}
Нужно найти максимальную тепловую мощность P. Найдём наибольшее значение функции P:
P = 60I – 2I2
Найдем производную функции:
P = 60 – 4·I
Найдем нули производной:
60 – 4·I = 0
60 = 4·I
I = 60/4
I = 15
Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:
Точка максимума I = 15, там и будет максимальное значение функции, а значит наибольшая тепловая мощность Р.
Найдём чему равно R при I = 15:
I=\frac{ε}{r+R}\\15=\frac{60}{2+R}\\R=2 Ом
Ответ: 2 Ом.