К блоку солнечных панелей с электродвижущей силой ε = 60 В и внутренним сопротивлением r = 0,8 Ом подключена зарядная станция. Сила тока в цепи при этом подключении определяется законом Ома:
I=\frac{ε}{r+R},
где R – сопротивление зарядной станции (в омах).
Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на зарядной станции, по закону Джоуля – Ленца равна P = I2R. При каком сопротивлении R зарядной станции выделяемая на ней тепловая мощность P будет наибольшей?
Источник: Ященко ЕГЭп 2027 (36 вариантов)
Решение:
ε = 60 В
r = 0,8 Ом
Подставим все известные значения в 1-ю формулу и упростим её:
I=\frac{ε}{r +R}\\I=\frac{60}{0,8+R}\\I\cdot (0,8+R)=60\\0,8I+IR = 60
Выразим из 2-й формулы значение R:
P=I^{2}R\\R=\frac{P}{I^{2}}
Подставим R в 1-ю формулу:
0,8I+I\cdot \frac{P}{I^{2}} = 60\\0,8I+ \frac{P}{I} = 60\:{\color{Blue} |\cdot I,I\neq 0} \\0,8I^{2}+P=60I\\P=60I-0,8I^{2}
Нужно найти максимальную тепловую мощность P. Найдём наибольшее значение функции P:
P = 60I – 0,8I2
Найдем производную функции:
P = 60 – 1,6·I
Найдем нули производной:
60 – 1,6·I = 0
60 = 1,6·I
I = 60/1,6
I = 37,5
Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:
Точка максимума I = 37,5, там и будет максимальное значение функции, а значит наибольшая тепловая мощность Р.
Найдём чему равно R при I = 37,5:
I=\frac{ε}{r+R}\\37,5=\frac{60}{0,8+R}\\37,5\cdot (0,8+R)=60\\30+37,5R=60\\37,5R=60-30\\37,5R=30\\R=\frac{30}{37,5}=0,8 Ом
Ответ: 0,8 Ом.