Источник постоянного напряжения имеет электродвижущую силу ε = 40 В и внутреннее сопротивление r = 2 Ом. Сила тока в цепи при подключении к этому источнику нагрузки определяется законом Ома:
I=\frac{ε}{r+R},
где R – сопротивление нагрузки (в омах). Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на нагрузке, равна P = I2R (закон Джоуля–Ленца). При каком сопротивлении нагрузки R выделяемая на источнике тепловая мощность P наибольшая?
Источник: statgrad
Решение:
ε = 40 В
r = 2 Ом
Подставим все известные значения в 1-ю формулу и упростим её:
I=\frac{ε}{r +R}\\I=\frac{40}{2+R}\\I\cdot (2+R)=40\\2I+IR = 40
Выразим из 2-й формулы значение R:
P=I^{2}R\\R=\frac{P}{I^{2}}
Подставим R в 1-ю формулу:
2I+I\cdot \frac{P}{I^{2}} = 40\\2I+ \frac{P}{I} = 40\:{\color{Blue} |\cdot I,I\neq 0} \\2I^{2}+P=40I\\P=40I-2I^{2}
Нужно найти максимальную тепловую мощность P. Найдём наибольшее значение функции P:
P = 40I – 2I2
Найдем производную функции:
P = 40 – 4·I
Найдем нули производной:
40 – 4·I = 0
40 = 4·I
I = 40/4
I = 10
Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:
Точка максимума I = 10, там и будет максимальное значение функции, а значит наибольшая тепловая мощность Р.
Найдём чему равно R при I = 10:
I=\frac{ε}{r+R}\\10=\frac{40}{2+R}\\R=2 Ом
Ответ: 2.