Источник постоянного напряжения имеет электродвижущую силу ε = 40 В и внутреннее сопротивление r = 1 Ом. Сила тока в цепи при подключении к этому источнику нагрузки определяется законом Ома:
I=\frac{ε}{r+R},
где R – сопротивление нагрузки (в Омах).
Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на нагрузке, равна P = I2R (закон Джоуля-Ленца). Найдите наибольшую возможную тепловую мощность P, которую может выделять этот источник.
Источник: Ященко ЕГЭп 2027 (50 вариантов)
Решение:
ε = 40 В
r = 1 Ом
Подставим все известные значения в 1-ю формулу и упростим её:
I=\frac{ε}{r +R}\\I=\frac{40}{1 +R}\\I\cdot (1+R)=40\\I+IR = 40
Выразим из 2-й формулы значение R:
P=I^{2}R\\R=\frac{P}{I^{2}}
Подставим R в 1-ю формулу:
I+I\cdot \frac{P}{I^{2}} = 40\\I+ \frac{P}{I} = 40\:{\color{Blue} |\cdot I,I\neq 0} \\I^{2}+P=40I\\P=40I-I^{2}
Нужно найти максимальную тепловую мощность P. Найдём наибольшее значение функции P:
P = 40I – I2
Найдем производную функции:
P = 40 – 2·I
Найдем нули производной:
40 – 2·I = 0
40 = 2·I
I = 40/2
I = 20
Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:
Точка максимума I = 20, там и будет максимальное значение функции:
P(20) = 40·20 – 202 = 800 – 400 = 400
Ответ: 400.