При подключении последовательного контура к источнику переменного тока амплитуда силы тока I (в амперах) в цепи зависит от циклической частоты ω (в рад/с) и выражается формулой:
I=\frac{U}{\sqrt{R^2+(\omega L-\frac{1}{\omega C})^2}},
где U = 220 В – амплитуда напряжения источника, R = 44 Ом – активное сопротивление цепи, L = 0,2 Гн – индуктивность катушки, а C = 20 мкФ = 20·10–6 Ф – емкость конденсатора. Найдите наибольшую возможную силу тока (в амперах) в этой цепи.
Источник: alexlarin.net
Решение:
Чтобы найти максимальное значение I, проанализируем формулу. Числитель U – величина постоянная. Значит, значение дроби будет максимальным, когда знаменатель дроби будет минимальным.
Знаменатель равен \sqrt{R^2+(\omega L-\frac{1}{\omega C})^2}. Т.к. R2 – постоянная положительная величина, знаменатель будет минимальным, когда второе слагаемое под корнем будет равно нулю:
(\omega L-\frac{1}{\omega C})^2=0
Найдём при каком значении ω это возможно:
(\omega L-\frac{1}{\omega C})^2=0\\\omega L-\frac{1}{\omega C}=0\\\omega L=\frac{1}{\omega C}\\\omega L\cdot \omega C=1\\\omega^{2} LC=1\\\omega^{2}=\frac{1}{LC}\\\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}\\\omega=\frac{1}{\sqrt{0,2\cdot 20\cdot 10^{-6}}}=500 рад/с
Найдём значение наибольшее возможное значение Imax:
I=\frac{U}{\sqrt{R^2+(\omega L-\frac{1}{\omega C})^2}}=\frac{U}{\sqrt{R^2+0}}=\frac{U}{\sqrt{R^{2}}}=\frac{U}{R}
Теперь подставим числовые значения:
I_{max}=\frac{220}{44}=5 А
Ответ: 5.