На берегах прямого участка реки друг напротив друга находятся пристани А и Б. Лодка начинает переправу от пристани А. Собственная скорость лодки v меньше скорости течения реки u.
При переправе лодку сносит течением, и точка прибытия В находится от пристани Б на расстоянии, которое выражается формулой
L=H\cdot \frac{u + v cosα}{v sinα},
где H – ширина реки, α – угол между вектором скорости лодки относительно воды и вектором скорости течения. Найдите наименьшее возможное расстояние от точки В до пристани Б, если H = 60 м, u = 2 м/с и v = 1 м/с.
Источник: Ященко ЕГЭп 2027 (50 вариантов)
Решение:
Требуется найти наименьшее расстояние L, то есть минимум функции L(α).
Подставляем известные значения:
L(α)=60\cdot \frac{2 + 1\cdot cosα}{1\cdot sinα}=60\cdot \frac{2 + cosα}{sinα}
Найдём производную функции:
L^{′}(α)=60\cdot \frac{(2 + cosα)^{′}\cdot sinα-(2 + cosα)\cdot (sinα)^{′}}{sin^{2}α}=60\cdot \frac{-sinα\cdot sinα-(2 + cosα)\cdot cosα}{sin^{2}α}=60\cdot \frac{-sin^{2}α-2cosα – cos^{2}α}{sin^{2}α}=-60\cdot \frac{sin^{2}α+2cosα + cos^{2}α}{sin^{2}α}=-60\cdot \frac{2cosα + 1}{sin^{2}α}
Найдём нули функции:
-60\cdot \frac{2cosα + 1}{sin^{2}α}=0\:{\color{Blue} |: (-60)}\\\frac{2cosα + 1}{sin^{2}α}=0
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, sinα ≠ 0:
2cosα + 1 = 0
2cosα = –1
cos\alpha=-\frac{1}{2}
Нужен угол α из условия задачи. Угол между векторами скорости лодки и течения. В данной геометрии задачи переправа через реку угол α лежит в пределах от 0° до 180°
sinα ≠ 0, значит угол α не может быть равен 0° и 180°, cos\alpha=-\frac{1}{2} значит угол α равен 120° или 240°, подходит только 120°.
Проверяем, что найденная точка является минимумом.
При α < 120°, например, α = 90°, cos 90° = 0, тогда 1 + 2cos 90° = 1 > 0. Поскольку выражение 1 + 2cos α > 0, а перед дробью стоит знак «минус», производная L'(α) < 0. Следовательно, функция убывает.
При α > 120°, например, α = 150°, cos 150° ≈ –0,9, тогда 1 + 2cos 150° ≈ –0,8 < 0. В этом случае 1 + 2cos α < 0, значит, производная L'(α) > 0, и функция возрастает.
Т.к. производная меняет знак с «минуса» на «плюс» при переходе через точку α = 120°, эта точка является точкой минимума. Следовательно, наименьшее возможное расстояние L достигается при α = 120°.
Найдём минимальное расстояние L:
L(120^{\circ })=60\cdot \frac{2-0,5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{60\cdot 1,5\cdot 2}{\sqrt{3}}=\frac{180\:{\color{Blue} |\cdot \sqrt{3}}}{\sqrt{3}\:{\color{Blue} |\cdot \sqrt{3}}}=\frac{180\sqrt{3}}{3}=60\sqrt{3} м
Ответ: 60\sqrt{3}.