Распределение кинетической энергии молекул гелия при тепловом движении имеет функцию плотности
f(ε) = \frac{2}{\sqrt{π}} (\frac{1}{kT})^{\frac{3}{2}} \sqrt{ε} e^{-\frac{ε}{kT}},
где k = 1,38·10–23 Дж/К – постоянная Больцмана, ε – кинетическая энергия молекулы в джоулях, T – температура газа в кельвинах. Найдите значение кинетической энергии ε, при котором функция плотности f(ε) принимает наибольшее значение, если T = 300 К.
Источник: Ященко ЕГЭп 2027 (37 вариантов)
Решение:
Нужно найти ε, при котором эта функция принимает наибольшее значение.
Всё, что стоит перед \sqrt{ε} e^{-\frac{ε}{kT}}, это постоянный множитель, который на положение максимума не влияет. Поэтому можно искать максимум функции:
g(ε) = \sqrt{ε} e^{-\frac{ε}{kT}}\\g(ε) = ε^{\frac{1}{2}}\cdot e^{-\frac{ε}{kT}}
Найдём производную функции:
g^{′}(ε) = \frac{1}{2}ε^{1-\frac{1}{2}}\cdot e^{-\frac{ε}{kT}}+ε^{\frac{1}{2}}\cdot e^{-\frac{ε}{kT}}\cdot (-\frac{ε}{kT})^{′}=\frac{1}{2}ε^{-\frac{1}{2}}\cdot e^{-\frac{ε}{kT}}+ε^{\frac{1}{2}}\cdot e^{-\frac{ε}{kT}}\cdot (-\frac{1}{kT})= e^{-\frac{ε}{kT}}\cdot (\frac{1}{2}ε^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{kT}ε^{\frac{1}{2}})=e^{-\frac{ε}{kT}}\cdot (\frac{1}{2\sqrt{ε}}-\frac{\sqrt{ε}}{kT})
Найдём нули функции:
e^{-\frac{ε}{kT}}\cdot (\frac{1}{2\sqrt{ε}}-\frac{\sqrt{ε}}{kT})=0
e^{-\frac{ε}{kT}} никогда не равно нулю, значит:
\frac{1}{2\sqrt{ε}}-\frac{\sqrt{ε}}{kT}=0\\\frac{1}{2\sqrt{ε}}=\frac{\sqrt{ε}}{kT}\\2\sqrt{ε}\cdot \sqrt{ε}=1\cdot kT\\2ε=kT\\ε=\frac{kT}{2}
Подставляем значения k = 1,38·10–23 Дж/К и T = 300 К:
ε=\frac{1,38·10^{-23}\cdot 300}{2}=1,38·10^{-23}\cdot 150=207\cdot 10^{-23}=2,07\cdot 10^{-21}
Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:
Наибольшее значение функции f(ε) будет в точке максимума ε = 2,07·10–21.
Ответ: ε = 2,07·10–21.