Решение и ответы заданий варианта №1 из сборника ЕГЭ 2027 по математике (профильный уровень) под редакцией И.В. Ященко 37 типовых экзаменационных вариантов. Профиль 11 класс.
Задания №15,18,19,20 долго оформлять, решу их позже, если будет время и желание. Решены те задания, у которых кнопка «Смотреть решение» зелёная.
Часть 1
Задание 1.
Площадь параллелограмма ABCD равна 219. Найдите площадь параллелограмма MNKL, вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.
Задание 2.
Найдите скалярное произведение векторов 2\overrightarrow{a} и \overrightarrow{b}.
Задание 3.
Найдите боковое ребро правильной четырёхугольной призмы, если сторона её основания равна 10, а площадь поверхности равна 1760.
Задание 4.
В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 12 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Задание 5.
В магазине куплено 13 одинаковых луковиц гиацинтов. Вероятность того, что каждая отдельная луковица успешно прорастёт, равна 0,8. Во сколько раз вероятность события «прорастёт ровно 8 луковиц» больше вероятности события «прорастёт ровно 5 луковиц»?
Задание 6.
Пластиковые бутылки с питьевой водой продаются поштучно, либо упаковками по 9 или 12 штук. Известно, что в среднем 72 покупателя из 100 эту воду не покупают, 14 покупают одну бутылку, 9 человек – упаковку, в которой 9 бутылок, и 5 человек берут упаковку, в которой 12 бутылок. Найдите математическое ожидание случайной величины «количество бутылок в одной покупке».
Задание 7.
Найдите корень уравнения \sqrt[4]{x-2} = 2.
Задание 8.
Найдите значение выражения 8p(a) – 40a – 3, если p(a) = 5a – 5.
Задание 9.
На рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9. В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции f(x) неположительна.
Задание 10.
Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных изданий на основе показателей информативности In, оперативности Op и объективности Tr публикаций. Каждый отдельный показатель – целое число от -3 до 3. Составители рейтинга считают, что информативность публикаций ценится вчетверо, а объективность – втрое дороже, чем оперативность. Таким образом, формула приняла вид
R = \frac{4In + Op + 3Tr}{A}.
Найдите, каким должно быть число A, чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило бы рейтинг 30.
Задание 11.
Из A в B одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со средней скоростью, меньшей скорости первого на 12 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 70 км/ч, в результате чего прибыл в B одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она меньше 41 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Задание 12.
На рисунке изображён график функции f(x) = –acos x + b. Найдите a.
Задание 13.
В июле 2028 года планируется взять кредит в банке на сумму 113 750 рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей составит общая сумма платежей, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?
Часть 2
Задание 14.
а) Решите уравнение \frac{tg^{2} x + (2 − √3)·tg x − 2\sqrt{3}}{\sqrt{1 − 2sin x}}=0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{3\pi}{2}; 3π].
Задание 15.
В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD, ребро SD перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Точка M лежит на ребре AS, а точка N – на ребре AD.
а) Докажите, что расстояние между прямыми MN и BC равно длине отрезка AB.
б) Найдите объём пирамиды MABC, если SA = 24, SB = √601, SC = 4√10, AM = MS и AN:ND = 2:1.
Задание 16.
Решите неравенство \frac{log_{3}(15 − x)}{log_{3}(x^{3} − 9x^{2} + 27x − 27)}\ge 0.
Задание 17.
Распределение кинетической энергии молекул гелия при тепловом движении имеет функцию плотности
f(ε) = \frac{2}{\sqrt{π}} (\frac{1}{kT})^{\frac{3}{2}} \sqrt{ε} e^{-\frac{ε}{kT}},
где k = 1,38·10–23 Дж/К – постоянная Больцмана, ε – кинетическая энергия молекулы в джоулях, T – температура газа в кельвинах. Найдите значение кинетической энергии ε, при котором функция плотности f(ε) принимает наибольшее значение, если T = 300 К.
Задание 18.
В тупоугольном треугольнике KMN из вершин острых углов проведены высоты KA и NB, которые пересекаются в точке H.
а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABH, если известно, что KN = 16 и ∠KMN = 135°.
Задание 19.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
9^{|x|} − \frac{9a}{a−7}·3^{|x|} + \frac{14a+19}{a−7} = 0
имеет ровно два различных корня.
Задание 20.
На столе лежит N монет по 2 рубля и (1800 – N) монет по 5 рублей (N – натуральное число от 1 до 1799). Оказалось, что если взять любые 500 монет, то сумма денег, набранная этими монетами, будет не меньше одной пятой от общей суммы денег на столе.
а) Может ли N равняться 250?
б) Может ли N равняться 800?
в) Сколько различных значений может принимать число N?
Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2027. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В. Ященко. 37 вариантов.