Из A в B одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со средней скоростью, меньшей скорости первого на 12 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 70 км/ч, в результате чего прибыл в B одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она меньше 41 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Источник: Ященко ЕГЭп 2027 (37 вариантов)
Решение:
Оба автомобилиста проехали одинаковое расстояние, обозначим его за S.
Пусть первый проехал весь путь со скоростью х км/ч. Тогда времени он потратил на весь путь \frac{S}{x}.
Второй автомобилист проехал первую \frac{S}{2} половину пути со скоростью х – 12 км/ч, а вторую половину пути \frac{S}{2}, со скоростью 70 км/ч. На весь путь времени он затратил:
\frac{\frac{S}{2}}{x-12}+\frac{\frac{S}{2}}{70}
Зная, что в пункт В они прибыли одновременно, т.е. их время в пути равно, составим уравнение:
\frac{S}{x}=\frac{\frac{S}{2}}{x-12}+\frac{\frac{S}{2}}{70}\:{\color{Blue} |\cdot 2} \\\frac{2S}{x}=\frac{S}{x-12}+\frac{S}{70}\:{\color{Blue} |: S}\\\frac{2}{x}=\frac{1}{x-12}+\frac{1}{70}\\\frac{2}{x}=\frac{1\cdot 70+1\cdot (x-12)}{70(x-12)}\\\frac{2}{x}=\frac{x+58}{70(x-12)}
2·70·(x – 12) = x·(x + 58)
140x – 660 = x2 + 58x
x2 + 58x – 140x + 1680 = 0
x2 – 82x + 1680 = 0
D = (–82)2 – 4·1·1680 = 4 = 22
x_{1}=\frac{82+2}{2\cdot 1}=\frac{84}{2}=42\\ x_{2}=\frac{82-2}{2\cdot 1}=\frac{80}{2}=40
По условию скорость первого меньше 41 км/ч, значит подходит 40 км/ч.
Ответ: 40 км/ч.