Решение и ответы заданий варианта МА2310111 СтатГрад 3 октября 2023 года ЕГЭ 2024 по математике (профильный уровень). Тренировочная работа №1. ГДЗ профиль для 11 класса.
Все материалы получены из открытых источников и публикуются после окончания тренировочного экзамена в учебных целях.
Задания №14,17,18 долго оформлять, решу их позже, если будет время и желание. Решены те задания, у которых кнопка «Смотреть решение» зелёная.
Задание 1.
В треугольнике ABC угол C равен 46°, AD – биссектриса, угол CAD равен 38°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.
Задание 2.
На координатной плоскости изображены векторы \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b}. Найдите длину вектора 2\overrightarrow{a} − \overrightarrow{b}.
Задание 3.
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 7, AD = 7, AA1 = 6.
Задание 4.
В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены из четырёх стран: 10 из Аргентины, 3 из Бразилии, 7 из Парагвая и 5 из Уругвая. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Бразилии.
Задание 5.
При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,2, а при каждом последующем – 0,4. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,8?
Задание 6.
Решите уравнение x=\frac{–3x–24}{x–13}. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Задание 7.
Найдите значение выражения (a^{2}–36)\cdot (\frac{1}{a–6}–\frac{1}{a+6}) при a=\sqrt{17\frac{5}{101}}.
Задание 8.
На рисунке изображён график функции y = f(x). На оси абсцисс отмечено десять точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10.
Сколько из отмеченных точек принадлежит промежуткам убывания функции f(x)?
Задание 9.
Груз массой 0,16 кг колеблется на пружине. Его скорость v меняется по закону v=v_{0}\cos \frac{2\pi t}{T}, где t – время с момента начала колебаний, Т = 2 с – период колебаний, v0 = 1,5 м/с. Кинетическая энергия Е (в джоулях) груза вычисляется по формуле E=\frac{mv^{2}}{2}, где m – масса груза в килограммах, v – скорость груза в м/с2. Найдите кинетическую энергию груза через 20 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
Задание 10.
Первый и второй насосы наполняют бассейн за 15 минут, второй и третий – за 21 минуту, а первый и третий – за 35 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?
Задание 11.
На рисунке изображён график функции f(x) = kx + b. Найдите f(−14).
Задание 12.
Найдите наименьшее значение функции y=\sqrt{x^{2}+4x+40}.
Задание 13.
а) Решите уравнение sin2x=cos(–\frac{3\pi}{2}–x).
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [2\pi;\frac{7\pi}{2}].
Задание 14.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 через середину M диагонали AC1 проведена плоскость α перпендикулярно этой диагонали, AB = 15, BC = 9, AA1 = 12.
а) Докажите, что плоскость α содержит точку D1.
б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит ребро A1B1.
Задание 15.
Решите неравенство x^{3}+x^{2}–\frac{4x^{2}–3x+6}{x–2}\le 3.
Задание 16.
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы:
– в январе 2026, 2027, 2028 и 2029 годов долг возрастает на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
– в январе 2030, 2031, 2032 и 2033 годов долг возрастает на 14 % по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 2190 тысяч рублей?
Задание 17.
На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана такая точка M, что AM = MC.
а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонали AC.
б) Найдите радиус вписанной в треугольник AMD окружности, если AB = 8, BC = 20, ∠BAD = 60°.
Задание 18.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
a|x – 2| + (5 – a)|x + 2| + 12 = 0
имеет ровно два различных корня.
Задание 19.
Сумма цифр трёхзначного числа A равна S.
а) Может ли произведение A·S быть равно 1435?
б) Может ли произведение A·S быть равно 1436?
в) Найдите наименьшее значение произведения A·S, если известно, что оно больше 1918.
Источник варианта: СтатГрад/statgrad.org.