Решение №4195 Сумма цифр трёхзначного числа A равна S. а) Может ли произведение A·S быть равно 1435?

Решение:

    A – трёхзначное число abc = 100·a + 10·b + c. Может принимать значения от 100 до 999, 100 ≤ А ≤ 999.
    S – сумма чисел трёхзначного числа: a + b + c. Может принимать значения от 1 + 0 + 0 = 1 до 9 + 9 + 9 = 27, 1 ≤ S ≤ 27.

    а) А·S = 1435
    Разложим 1435 на простые множители: 

1435 = 5·7·41

    Пусть S = 5, тогда А = 7·41 = 287. Проверим сумму цифр числа А:

2 + 8 + 7 = 17 ≠ S

    Пусть S = 7, тогда А = 5·41 = 205. Проверим сумму цифр числа А:

2 + 0 + 5 = 7 = S 

    Верно, равенство А·S = 1435 выполняется, например, при А = 205.

    б) A·S = 1436

    Разложим 1436 на простые множители:

1436 = 2·2·359

    Пусть S = 2, тогда А = 2·359 = 718. Проверим сумму цифр числа А:

7 + 1 + 8 = 16 ≠ S 

    S не может быть равно 359, т.к. S ≤ 27.

    Равенство A·S = 1436 выполнятся не может.

    в) Первое значение после 1918 – это 1919, разложим на простые множители:

1919 = 19∙101

    S, может быть равно 19, тогда A = 101, 1 + 0 + 1 ≠ 19 не верно.
   Разложим на простые множители 1920:

1920 = 2∙2∙2∙2∙2∙2∙2∙3∙5

    S = 2, тогда A = 2∙2∙2∙2∙2∙2∙3∙5 = 906, 9 + 0 + 6 ≠ 2;
    S = 3, тогда A = 2∙2∙2∙2∙2∙2∙2∙5 = 906, 6 + 4 + 0 ≠ 3;
    S = 2·2 = 4, тогда A = 2∙2∙2∙2∙2∙3∙5 = 480, 4 + 8 + 0 ≠ 4;
    S = 5, тогда A = 2∙2∙2∙2∙2∙2∙2∙3 = 906, 3 + 8 + 4 ≠ 5;
    S = 2·3 = 6, тогда A = 2∙2∙2∙2∙2∙2∙5 = 320, 3 + 2 + 0 ≠ 6;
    S = 2·2·2 = 8, тогда A = 2∙2∙2∙2∙3∙5 = 240, 2 + 4 + 0 ≠ 8;
    S = 2·5 = 10, тогда A = 2∙2∙2∙2∙2∙2∙3 = 240, 1 + 9 + 2 ≠ 10;
    S = 2·2·3 = 12, тогда A = 2∙2∙2∙2∙2∙5 = 160, 1 + 6 + 0 ≠ 12;
    S = 2·2·2·2 = 16, тогда A = 2∙2∙2∙3∙5 = 120, 1 + 2 + 0 ≠ 16;
    S = 2·2·5 = 20, тогда A = 2∙2∙2∙2∙2∙3 = 96 – не трёхзначное;
    S = 2·2·2·3 = 24, S не может быть больше 23.

   Разложим на простые множители 1921:

1921 = 17∙113

    S = 17, тогда A = 113, 1 + 1 + 3 ≠ 17;

   Разложим на простые множители 1922:

1922 = 2∙31∙31

    S = 2, тогда A = 31∙31 = 961, 9 + 6 + 1 ≠ 2;

   Разложим на простые множители 1923:

1923 = 3∙641

    S = 3, тогда A = 641, 6 + 4 + 1 ≠ 3;

   Разложим на простые множители 1924:

1924 = 2∙2∙13∙37

    S = 2, тогда A = 2∙13∙37 = 962, 9 + 6 + 2 ≠ 2;
    S = 2·2 = 4, тогда A = 13∙37 = 481, 4 + 8 + 1 ≠ 4;
    S = 13, тогда A = 2∙2∙37 = 148, 1 + 4 + 8 ≠ 13;

   Разложим на простые множители 1925:

1925 =  5∙5∙7∙11

    S = 5, тогда A = 5∙7∙11 = 385, 3 + 8 + 5 ≠ 5;
    S = 7, тогда A = 5∙5∙11 = 275, 2 + 7 + 5 ≠ 7;
    S = 11, тогда A = 5∙5∙7 = 175, 1 + 7 + 5 ≠ 11;

    Разложим на простые множители 1926:

1926 = 2∙3∙3∙107

    S = 2·3 = 6, A = 3∙107 = 321, 3 + 2 + 1 = 6, верно.
    Наименьшее значение произведения А·S большее 1918, это 1926.

Ответ: а) да;
             б) нет;
             в) 1926.