Решение №844 Функция определена при всех действительных f(x).

Функция определена при всех действительных f(x). На рисунке изображен график f′(x) её производной. Найдите значение выражения f(3) – f(1).

Решение:

Найдём уравнение y′(x) это прямая, она имеет вид:

y = kx + b

Зная две точки на прямой (1;1) и (2;3) составим систему уравнений и найдём k и b:

$\left\{\begin{matrix}1=k\cdot 1 + b \\ 3=k\cdot 2 + b \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}b=1-k \\ 3=k\cdot 2 + b \end{matrix}\right.$

$3=k\cdot 2 + 1-k$

$k=2$

$b=1-2=-1$

Подставив k и b получаем:

y′ = 2x – 1

Найдём уравнение функции, для этого ищем первообразную:

f(x) = x² – x + C

f(3) = 32 – 3 + C = 6 + C
f(1) = 12 – 1 + C = C

f(3) – f(1) = 6 + C – C = 6

Ответ: 6.