Функция определена при всех действительных f(x). На рисунке изображен график f′(x) её производной. Найдите значение выражения f(3) – f(1).
Решение:
Найдём уравнение y′(x) это прямая, она имеет вид:
y = kx + b
Зная две точки на прямой (1; 1) и (2; 3) составим систему уравнений и найдём k и b:
\begin{cases} 1=k\cdot 1+b \\ 3=k\cdot 2+b \end{cases}\\\begin{cases} b=1-k \\ 3=k\cdot 2+b \end{cases}\\3=k\cdot 2+1–k\\k=2\\b=1-2=-1
Подставив k и b получаем:
y′ = 2x – 1
Найдём уравнение функции, для этого ищем первообразную:
f(x) = x2 – x + C
f(3) = 32 – 3 + C = 6 + C
f(1) = 12 – 1 + C = C
f(3) – f(1) = 6 + C – C = 6
Ответ: 6.