В прямоугольном параллелепипеде АВСDA1В1С1D1 известны отношения длин ребер: АВ : AD : AA1 = 16 : 15 : 34. Расстояние от центра грани АВВ1A1 до вершины D равно 34√2. Найдите сумму длин всех ребер параллелепипеда.
Решение:
Обозначим ребра параллелепипеда:
AB = 16x
AD = 15x
AA1 = 34x
Точка О – центр грани АВВ1A1, тогда OD = 34√2.
Из прямоугольного ΔABB1 по теореме Пифагора найдём АВ1:
АВ12 = АВ2 + ВВ12
АВ12 = (16х)2 + (34х)2 = 256х2 + 1156х2 = 1412х2
AB=\sqrt{1412x^{2}}
АO это половина АВ1 (делится пополам диагоналями):
AO=\frac{AB_{1}}{2}=\frac{\sqrt{1412x^{2}}}{2}
Из прямоугольного ΔAOD с помощью теоремы Пифагора найдём х:
OD2 = AO2 + AD2
(34\sqrt{2})^{2}=(\frac{\sqrt{1412x^{2}}}{2})^{2}+(15x)^{2}\\2312=353x^{2}+225x^{2}\\2312=578x^{2}\\x^{2}=\frac{2312}{578}=4
x = 2
Тогда грани равны:
15х = 15·2 = 30
16х = 16·2 = 32
34х = 34·2 = 68
Каждой такой грани в фигуре по 4. Тогда сумма всех равна:
4·(30 + 32 + 68) = 4·130 = 520
Ответ: 520.