Решение №798 В треугольнике MNP известно, что МM1 и РР1

В треугольнике MNP известно, что МM₁ и РР₁ – медианы, МM₁= 9√3, РР₁ = 6, ∠MOP = 150º. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника МОР.

Решение:

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

Т.е. в каждой медиане всего 2 + 1 = 3 части, а нужная нам сторона (MO,OP) занимает 2 части и составляет 2/3 от всей медианы.
$MO=\frac{2}{3}MM_{1}=\frac{2}{3}\cdot 9\sqrt{3}=6\sqrt{3}$

$OP=\frac{2}{3}PP_{1}=\frac{2}{3}\cdot 6=4$

По теореме косинусов найдём MP:

MP² = MO² + OP² – 2·MO·OP·cos∠MOP
MP² = (6√3)² + 4² – 2·6√3·4·cos150º
MP² =108 + 16 – 48√3·(-√3/2) = 124 + 72 = 196
MP = √196 = 14

Дальше задача становится похожа на эту задачу из досрочного варианта 2020 года.
По расширенной теореме синусов найдём радиус окружности:
$\frac{a}{\sin\ \alpha }=2\cdot R$