В треугольнике MNP известно, что МM1 и РР1 – медианы, МM1= 9√3, РР1 = 6, ∠MOP = 150º. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника МОР.
Решение:
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
Т.е. в каждой медиане всего 2 + 1 = 3 части, а нужная нам сторона (MO,OP) занимает 2 части и составляет 2/3 от всей медианы.
По теореме косинусов найдём MP:
MP2 = MO2 + OP2 – 2·MO·OP·cos∠MOP
MP2 = (6√3)2 + 42 – 2·6√3·4·cos150º
MP2 =108 + 16 – 48√3·(-√3/2) = 124 + 72 = 196
MP = √196 = 14
Дальше задача становится похожа на эту задачу из досрочного варианта 2020 года.
По расширенной теореме синусов найдём радиус окружности:
В нашем случае:
а = МР = 14
α = 150º
Ответ: 14.