Через точку, лежащую на высоте прямого кругового конуса и делящую её в отношении 1:2, считая от вершины конуса, проведена плоскость, параллельная его основанию и делящая конус на две части. Каков объём той части конуса, которая примыкает к его основанию, если объём всего конуса равен 54?
Решение:
V_{кон}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=54
Найдём сначала объём отсечённого конуса. Конус поделен в отношении 1:2, т.е. всего 3 части (2+1), тогда:
| h | r | |
| Исходный конус (V) | h | r |
| Отсечённый конус (Vотс) | \color{Red} \frac{1}{3}h | {\color{Blue} \frac{1}{3}r} |
V_{отс}=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot ({\color{Blue} \frac{1}{3}r})^{2}\cdot {\color{Red} \frac{1}{3}h}=\frac{1}{27}\cdot \frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{27}\cdot V_{кон}=\frac{1}{27}\cdot 54=2
Тогда объём той части исходного конуса, которая примыкает к его основанию равна:
Vосн = V – Vотс = 54 – 2 = 52
Ответ: 52.