Решение №2977 Найдите угол ABD1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB=5, AD=4, AA1=3.

Найдите угол ABD₁ прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA₁ = 3. Ответ дайте в градусах.

Источник: Пробный ЕГЭ 2014.

Решение:

AA₁ = DD₁ = 3 как противоположные стороны прямоугольного параллелепипеда.
По теореме Пифагора в прямоугольном ΔADD₁ найдём BD:

AD₁² = AD² + DD₁²
AD₁² = 4² + 3²
AD₁² = 16 + 9
AD₁² = 25
AD₁ = √25 = 5

Рассмотрим ΔABD₁ в нём ∠ВAD₁ = 90º, AD₁ = AB = 5, значит он прямоугольный и равнобедренный, углы при основании будут равны. Найдём искомый ∠ABD_1:

${\color{Red} \angle ABD_{1}}=\frac{180°–\angle BAD_{1}}{2}=\frac{180°–90°}{2}=\frac{90°}{2}=\color{Red} 45°$

Ответ: 45.