Найдите значение выражения √2 – 2√2sin2 \frac{15\pi}{8}.
Источники: fipi, os.fipi, Досрочная волна 2019, Основная волна 2017, Пробный ЕГЭ 2016 , Основная волна 2014.
Решение:
Упростим выражение используя следствие из свойства (9) справочного материала ЕГЭ:
\sqrt{2}-2\sqrt{2}sin^{2}\frac{15\pi}{8}=\sqrt{2}\cdot (1-2sin^{2}\frac{15\pi}{8})=\sqrt{2}\cdot cos(2\cdot \frac{15\pi}{8})=\sqrt{2}\cdot cos\frac{15\pi}{4}=\sqrt{2}\cdot cos\frac{8\pi +7\pi}{4}=\sqrt{2}\cdot cos(\frac{8\pi}{4}+\frac{7\pi}{4})=\sqrt{2}\cdot cos(2\pi+\frac{7\pi}{4})=\sqrt{2}\cdot cos\frac{7\pi}{4}=\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2\cdot 2}}{2}=\frac{2}{2}=1
2π полный круг. С помощью тригонометрического круга находим значение cos \frac{7\pi}{4}:
Ответ: 1.