Угол между биссектрисой CD и медианой СМ проведёнными из вершины прямого угла С треугольника АВС, равен 10°. Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.
Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)
Решение:
СМ – медиана исходящая из прямого угла прямоугольного ΔАВС, значит точка М является центром описанной около треугольника окружности и МА = МВ = МС, как радиусы:
СD – биссектриса, делит прямой ∠С = 90° пополам:
∠АСD = ∠DCB = ∠C/2 = 90°/2 = 45°
Найдём ∠АСМ:
∠АСМ = ∠АСD – ∠MCD = 45° – 10° = 35°
Т.к. АМ = СМ, то ΔАМС равнобедренный, углы при основании равны:
∠САМ = ∠АСМ = 35° = ∠А
Сумма углов любого треугольника равна 180°. Найдём 3-й угол ΔАВС:
∠В = 180° – ∠С – ∠А = 180° – 90° – 35° = 55°
Меньший угол ΔАВС равен 35°.
Ответ: 35.