Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°.

Источники: fipi, os.fipi, Основная волна 2014.

Решение:

Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°.

    СМ – медиана, СК – биссектриса, ∠С = 90° прямой, тогда:

АМ = МD
∠ACK = ∠BCK = 90°/2 = 45°

    Найдём ∠АСМ:

∠АСМ = ∠ACK – ∠МСК = 45° – 14° = 31°

    Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы:

СМ = АМ

    Тогда ΔАМС равнобедренный, углы при основании равны:

∠АСМ = ∠MAC = 31°

    Это и есть меньший угол прямоугольного треугольника АВС (∠В = 90 – 31 = 59°). 

Ответ: 31.