Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
Источники: fipi, os.fipi, Основная волна 2014.
Решение:
СМ – медиана, СК – биссектриса, ∠С = 90° прямой, тогда:
АМ = МD
∠ACK = ∠BCK = 90°/2 = 45°
Найдём ∠АСМ:
∠АСМ = ∠ACK – ∠МСК = 45° – 14° = 31°
Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы:
СМ = АМ
Тогда ΔАМС равнобедренный, углы при основании равны:
∠АСМ = ∠MAC = 31°
Это и есть меньший угол прямоугольного треугольника АВС (∠В = 90 – 31 = 59°).
Ответ: 31.