В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и AB = AD = CD. Найдите меньший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.
Источник: mathege
Решение:
AD – биссектриса, значит ∠САD = ∠ВАD, обозначим как α.
AD = CD, тогда ΔADC равнобедренный, углы при основании равны:
∠САD = ∠DCA = α
AD = АВ, тогда ΔAВD равнобедренный, углы при основании равны, сумма углов 180°, ∠ВАD = α, найдём ∠В:
\angle B = \frac{180^\circ-\alpha}{2} = 90^\circ-\frac{\alpha}{2}
Весь угол А равен:
∠А = α + α = 2α
Все три угла треугольника АВС обозначили, зная что сумма равна 180º, составим уравнение:
2\alpha + \alpha + 90^\circ-\frac{\alpha}{2} = 180^\circ \\ 3\alpha-\frac{\alpha}{2} = 90^\circ \:{\color{Blue} |\cdot 2} \\ 6\alpha-\alpha = 180^\circ \\ 5\alpha = 180^\circ \\ \alpha = \frac{180^\circ}{5} = 36^\circ = \angle C
Найдём другие два угла:
∠А = 2·36 = 72º
\angle B = 90-\frac{\alpha}{2} = 90-\frac{36}{2} = 72^\circ
Наименьший угол равен 36º.
Ответ: 36.