Решение №1966 В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и AB=AD=CD. Найдите меньший угол треугольника ABC.

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и AB = AD = CD. Найдите меньший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

Источник: mathege

Решение:

AD – биссектриса, значит ∠САD = ∠ВАD, обозначим как α.
AD = CD, тогда ΔADC равнобедренный, углы при основании равны:

∠САD = ∠DCA = α

AD = АВ, тогда ΔAВD равнобедренный, углы при основании равны, сумма углов 180°, ∠ВАD = α, найдём ∠В:

$\angle B = \frac{180^{\circ}-\alpha }{2}=90^{\circ}-\frac{\alpha }{2}$

Весь угол А равен:

∠А = α + α = 2α

Все три угла треугольника АВС обозначили, зная что сумма равна 180º, составим уравнение:

$2\alpha+\alpha +90^{\circ}-\frac{\alpha }{2}=180^{\circ}$

$3\alpha-\frac{\alpha }{2}=90^{\circ}\, \, {\color{Blue} |\cdot 2}$

$6\alpha-\alpha =180^{\circ}$

$5\alpha =180^{\circ}$

$\alpha =\frac{180^{\circ}}{5}=36^{\circ}=\angle C$

Найдём другие два угла:

∠А = 2·36 = 72º

$\angle B=90-\frac{\alpha }{2}=90-\frac{36 }{2}=72^{\circ}$

Наименьший угол равен 36º.

Ответ: 36.