Боковые стороны АВ и СD трапеции АВСD равны соответственно 10 и 26, а основание ВС равно 1. Биссектриса угла АDС проходит через середину стороны АВ. Найдите площадь трапеции.

Источник: ОГЭ Ященко 2024 (36 вар)

Решение:

     Продолжим биссектрису DM до пересечения с продолжением основания ВС в точке K.
    ∠KDA = ∠KDC, т.к. DK биссектриса, ∠KDA = ∠CKD – как накрест лежащие при параллельных прямых КС и AD при секущей КD. Тогда:

∠KDA = ∠KDC = ∠CKD

     Значит, ΔKCD равнобедренный, КС = СD = 26. Найдём КВ:

KB = КС – ВС = 26 – 1 = 25

Боковые стороны АВ и СD трапеции АВСD равны соответственно 10 и 26, а основание ВС равно 1.

     ΔAMD = ΔВМК по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ – по условию, ∠AMD = ∠BMK – вертикальные, ∠DAM = ∠KBM – как накрест лежащие при параллельных прямых КС и AD при секущей AB). Соответствующие стороны треугольников равны:

AD = BK = 25

     Проведём через точку C прямую CH, параллельную прямой AB. Четырёхугольник ABCHпараллелограмм. Следовательно, его противоположные стороны равны:

AH = BC = 1
CH = AB = 10

    Найдём HD:

HD = AD – AH = 25 – 1 = 24

    Рассмотрим ΔCHD, он прямоугольной по обратной теореме Пифагора:

СD2 = HD2 + CH2
262 = 242 + 102
676 = 576 + 100
676 = 676

    Значит CH⊥HD, CH – высота трапеции ABCD. Найдём площадь трапеции:

S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot CH=\frac{25+1}{2}\cdot 10=130

Ответ: 130.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4.3 / 5. Количество оценок: 29

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, чтобы я тебе ответил.