В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 5:4, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 6.
Источник: ОГЭ Ященко 2024 (36 вар)
Решение:
По свойству биссектрисы треугольника: Биссектриса треугольника (ΔАВМ) делит третью сторону (ВМ) на отрезки (КM и КB), пропорциональные двум другим сторонам (АМ и АВ).
Косинус острого угла (∠А) прямоугольного треугольника (ΔАВМ) – это отношение прилежащего катета (АМ) к гипотенузе (АВ).
Получаем:
cos\angle A=\frac{AM}{AB}=\frac{KM}{KB}=\frac{4}{5}
Из основного тригонометрического тождества, найдём значение sin∠A:
sin^{2}\angle A+cos^{2}\angle A=1\\sin^{2}\angle A=1-cos^{2}\angle A\\sin\angle A=\sqrt{1-cos^{2}\angle A}=\sqrt{1-(\frac{4}{5})^{2}}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}
По теореме синусов, из справочного материала ОГЭ, найдём R:
\frac{BC}{sin\angle A}=2R\\\frac{6}{\frac{3}{5}}=2R\\6\cdot \frac{5}{3}=2R\:{\color{Blue} |: 2}\\3\cdot \frac{5}{3}=R\\5=R
Ответ: 5.