В выпуклом четырёхугольнике АВСD диагонали пересекаются в точке О. Точка N принадлежит отрезку AC. Известно, что BO = 15, DО = 9, AC = 30. Найдите CN, если площадь треугольника АВN в 7,5 раз меньше площади четырёхугольника АВСD.
Источник: ОГЭ Ященко 2024 (36 вар)
Решение:
Площадь четырёхугольника АВСD c диагоналями АС = 30 и BD = BO + DO = 15 + 9 = 24, находится по формуле:
SАBCD = \frac{1}{2}·АC·BD·sinα = \frac{1}{2}·30·24·sinα = 360·sinα
(1) По условию задачи площадь ΔABN равна:
SABN = \frac{1}{7,5}·SАBCD = \frac{1}{7,5}·360·sinα = 48·sinα
Площадь ΔABN можно вычислить по другой формуле:
SABN = \frac{1}{2}·AN·BH
Из прямоугольного ΔВHO найдём ВН:
sin\alpha=\frac{BH}{BO}\\sin\alpha=\frac{BH}{15}\\BH=15\cdot sin\alpha
(2) Подставим в формулу площади ΔABN:
SABN = \frac{1}{2}·AN·15·sinα = 7,5·AN·sinα
Прировняем две формулы (1) и (2), найдём AN:
48·sinα = 7,5·AN·sinα |:sinα
48 = 7,5·AN
AN=\frac{48}{7,5}=6,4
Найдём CN:
CN = AC – AN = 30 – 6,4 = 23,6
Ответ: 23,6.