Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 24 и 42 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = \frac{\sqrt{7}}{4}.

Источник: statgrad

Решение:

    Введём обозначения как на рисунке:

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 24 и 42 от вершины A.

    ∠ВАС = ∠MAF = ∠NAF – как соответствующие.
    По теореме о секущей и касательной (подробно о ней здесь): 
    Если из одной точки (А) к окружности проведены секущая (АN) и касательная (АF), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АF). 

АN·АM = АF2
24·42 = АF2
1008 = АF2
АF = √1008 = 12√7

    Из справочного материала ОГЭ для ΔАMF  используем теорему косинусов:

Решение №3144 Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 24 и 42 от вершины A.

    У нас FM = с (противолежащая известному углу сторона), АF = а, AM = b, cos ∠A:

FM2 = AF2 + AM2 – 2·AF·AM·cos∠A
FM2 = (12√7)2 + 242 – 2·12√7·24·\frac{\sqrt{7}}{4}
FM2 = 1008 + 576 – 1008 = 576
FM = √576 = 24

    Аналогично используем для ΔАNF теорему косинусов:

FN2 = AF2 + AN2 – 2·AF·AN·cos∠A
FN2 = (12√7)2 + 422 – 2·12√7·42·\frac{\sqrt{7}}{4}
FN2 = 1008 + 1764 – 1764 = 1008
FN = √1008 = 12√7

    Значит, АF = FN = 12√7, тогда ΔAFN – равнобедренный с основанием AN. Соответственно, углы при основании такого треугольника равны:

∠BAC = ∠NAF = ∠ANF

    Из справочного материала ОГЭ, используя основное тригонометрическое тождество, выразим sin∠ANF:

Решение №3144 Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 24 и 42 от вершины A.

sin2x + cos2x = 1
sin2x = 1 – cos2x
sinx=\sqrt{1-cos^{2}x}

    Подставляем:

sin∠ANF=\sqrt{1-cos^{2}∠BAC}=\sqrt{1-(\frac{\sqrt{7}}{4})^{2}}=\sqrt{1-\frac{7}{16}}=\sqrt{\frac{16}{16}-\frac{7}{16}}=\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}

    Из справочного материала ОГЭ, по теореме синусов для ΔFMN:

Решение №3144 Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 24 и 42 от вершины A.

\frac{FM}{sin\angle FNM}=2R\\\frac{24}{\frac{3}{4}}=2R\\\frac{24\cdot 4}{3}=2R\\R=\frac{24\cdot 4}{3\cdot 2}=8\cdot 2=16

Ответ: 16.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 5 / 5. Количество оценок: 1

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.