Окружности с центрами в точках Р и Q не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m : n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m : n.

Источник: ОГЭ Ященко 2023 (36 вар)

Решение:

    KHвнутренняя общая касательная к окружностям с центрами в точках P и Q. PQотрезок соединяющий центры окружностей

\frac{PO}{OQ}=\frac{m}{n}

    Проведём радиусы окружностей к касательной, по свойству касательной, они будут перпендикулярны:

Окружности с центрами в точках Р и Q не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой.

    Рассмотрим два прямоугольных ΔPKO и ΔQHO, которые подобны по двум углам (∠POK = ∠HOQ – как вертикальные, ∠PKO = ∠QHO – прямые). В подобных треугольниках, соответствующие стороны пропорциональны:

\frac{PK}{HQ}=\frac{PO}{OQ}\\\frac{PK}{HQ}=\frac{m}{n}

    Диаметры окружностей равны (в два раза больше радиусов):

d1 = 2·PK
d2 = 2·HQ

    Найдём их отношение:

\frac{d_{1}}{d_{2}}=\frac{2PK}{2HQ}=\frac{PK}{HQ}=\frac{m}{n}

    Что и требовалось доказать.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 5 / 5. Количество оценок: 2

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.