Окружности с центрами в точках R и S не имеют общих точек, ни одна из них не лежит внутри другой, а их радиусы относятся как с : d. Докажите, что внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении с : d.
Источник: ОГЭ Ященко 2023 (36 вар)
Решение:
KH – внутренняя общая касательная к окружностям с центрами в точках R и S. RS – отрезок соединяющий центры окружностей.
Проведём радиусы окружностей к касательной, по свойству касательной, они будут перпендикулярны:
\frac{RK}{HS}=\frac{c}{d}
Рассмотрим два прямоугольных ΔRKO и ΔSHO, которые подобны по двум углам (∠ROK = ∠HOS – как вертикальные, ∠RKO = ∠SHO – прямые). В подобных треугольниках, соответствующие стороны пропорциональны:
\frac{RO}{SO}=\frac{RK}{HS}\\\frac{RO}{SO}=\frac{c}{d}
Что и требовалось доказать.