Решение №3611 Постройте график функции y = (2,5|x|-1)/(|x|-2,5x^2).

Постройте график функции $y=\frac{2,5|x|–1}{|x|–2,5x^{2}}$ .
Определите, при каких значениях k прямая у = kх не имеет с графиком общих точек.

Источник: ОГЭ Ященко 2023 (36 вар)

Решение:

ОДЗ: |x| – 2,5x² ≠ 0
при х ≥ 0:
+x – 2,5x² ≠ 0
x·(1 – 2,5x) ≠ 0
x ≠ 0
или
1 – 2,5x ≠ 0
–2,5x ≠ –1
x ≠ –1/(–2,5)
х ≠ 0,4
при х < 0:
–x – 2,5x² ≠ 0
x·(–1 – 2,5x) ≠ 0
x ≠ 0
или
–1 – 2,5x ≠ 0
–2,5x ≠ 1
x ≠ 1/(–2,5)
х ≠ –0,4

Раскрываем модуль:

$\begin{cases} \frac{2,5(+x)–1}{(+x)–2,5x^{2}} =\frac{2,5x–1}{–x\cdot (–1+2,5x)}=\frac{1}{–x}=–\frac{1}{x}\color{Blue} ,x>0\\ \frac{2,5(–x)–1}{(–x)–2,5x^{2}} =\frac{–2,5x–1}{x\cdot (–1–2,5x)}=\frac{1}{x}\color{Blue} ,x<0\end{cases}$

Найдём координаты точек не принадлежащих графику:

$y(0,4)=-\frac{1}{0,4}=-2,5\\y(-0,4)=\frac{1}{-0,4}=-2,5$

(0,4; –2,5) ∉ графику функции
(–0,4; –2,5) ∉ графику функции

y = $\color{Magenta} -\frac{1}{x}$ , x > 0, гипербола

x	0,5	1	2
y	–2	–1	–0,5

y = $\color{DarkGreen} \frac{1}{x}$ , x < 0, гипербола

x	–0,5	–1	–2
y	–2	–1	–0,5

y = kx, прямая проходящая через начало координат (0; 0).
1) y = 0·x
k = 0
2) Проходит через точку (–0,4; –2,5):
–2,5 = k·(–0,4)
k = –2,5/(–0,4) = 6,25
3) Проходит через точку (0,4; –2,5):
–2,5 = k·0,4
k = –2,5/0,4 = –6,25

Ответ: –6,25; 0; 6,25.