Длины векторов \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} равны соответственно 16 и 6, а их скалярное произведение равно 24. Найдите длину вектора \overrightarrow{c}, если \overrightarrow{c}=\frac{1}{4} \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}.
Источник: ЕГЭп Ященко 2024 (50 вар)
Решение:
Длина вектора обозначается как модуль:
|\overrightarrow{c}|=|\frac{1}{4} \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|
Модуль можно представить как число возведённое в квадрат и извлечённое из под корня:
| |\overrightarrow{c}|=\sqrt{(\frac{1}{4}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^{2}}=\sqrt{(\frac{1}{4}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot (\frac{1}{4}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})}=\sqrt{(\frac{1}{4}\overrightarrow{a})^{2}+2\cdot \frac{1}{4} \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}|\overrightarrow{a}|^{2}+\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^{2}} |
Подставим значения из условия |\overrightarrow{a}|=16,|\overrightarrow{b}|=6,\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=24:
| |\overrightarrow{c}|=\sqrt{\frac{1}{16}|\overrightarrow{a}|^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}\cdot 16^{2}+\frac{1}{2} \cdot 24+ 6^{2}}=\sqrt{16+12+36}=\sqrt{64}=8 |
Ответ: 8.