Длины векторов \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} равны соответственно 5 и 8, а их скалярное произведение равно 12. Найдите длину вектора \overrightarrow{c}, если \overrightarrow{c}=3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}.
Источник: ЕГЭп Ященко 2024 (50 вар)
Решение:
Длина вектора обозначается как модуль:
|\overrightarrow{c}|=|3 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|
Модуль можно представить как число возведённое в квадрат и извлечённое из под корня:
| |\overrightarrow{c}|=\sqrt{(3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^{2}}=\sqrt{(3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot (3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})}=\sqrt{(3\overrightarrow{a})^{2}+2\cdot 3 \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^{2}}=\sqrt{9|\overrightarrow{a}|^{2}+6\cdot \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^{2}} |
Подставим значения из условия |\overrightarrow{a}|=5,|\overrightarrow{b}|=8,\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=12:
| |\overrightarrow{c}|=\sqrt{9|\overrightarrow{a}|^{2}+6\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^{2}}=\sqrt{9\cdot 5^{2}+6 \cdot 12+ 8^{2}}=\sqrt{225+72+64}=\sqrt{361}=19 |
Ответ: 19.