Длины векторов \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} равны соответственно 9 и 60, а их скалярное произведение равно 429. Найдите длину вектора \overrightarrow{c}, если \overrightarrow{c}=2\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}.
Источник: ЕГЭп Ященко 2024 (50 вар)
Решение:
Длина вектора обозначается как модуль:
|\overrightarrow{c}|=|2\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}|
Модуль можно представить как число возведённое в квадрат и извлечённое из под корня:
| |\overrightarrow{c}|=\sqrt{(2\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b})^{2}}=\sqrt{(2\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b})\cdot (2\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b})}=\sqrt{(2\overrightarrow{a})^{2}+2\cdot 2\overrightarrow{a}\cdot \frac{1}{3}\overrightarrow{b}+(\frac{1}{3}\overrightarrow{b})^{2}}=\sqrt{4|\overrightarrow{a}|^{2}+\frac{4}{3}\cdot \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\frac{1}{9}|\overrightarrow{b}|^{2}} |
Подставим значения из условия |\overrightarrow{a}|=9,|\overrightarrow{b}|=60,\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=429:
| |\overrightarrow{c}|=\sqrt{4|\overrightarrow{a}|^{2}+\frac{4}{3}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\frac{1}{9}|\overrightarrow{b}|^{2}}=\sqrt{4 \cdot 9^{2}+\frac{4}{3}\cdot 429+\frac{1}{9}\cdot 60^{2}}=\sqrt{324+572+400}=\sqrt{1296}=36 |
Ответ: 36.