Длины векторов \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} равны соответственно 4 и 30, а их скалярное произведение равно 120. Найдите длину вектора \overrightarrow{c}, если \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\frac{1}{6}\overrightarrow{b}.
Источник: ЕГЭп Ященко 2024 (50 вар)
Решение:
Длина вектора обозначается как модуль:
|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{a}+\frac{1}{6}\overrightarrow{b}|
Модуль можно представить как число возведённое в квадрат и извлечённое из под корня:
| |\overrightarrow{c}|=\sqrt{(\overrightarrow{a}+\frac{1}{6}\overrightarrow{b})^{2}}=\sqrt{(\overrightarrow{a}+\frac{1}{6}\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}+\frac{1}{6}\overrightarrow{b})}=\sqrt{\overrightarrow{a}^{2}+2\cdot \overrightarrow{a}\cdot \frac{1}{6}\overrightarrow{b}+(\frac{1}{6}\overrightarrow{b})^{2}}=\sqrt{|\overrightarrow{a}|^{2}+\frac{1}{3}\cdot \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\frac{1}{36}|\overrightarrow{b}|^{2}} |
Подставим значения из условия |\overrightarrow{a}|=4,|\overrightarrow{b}|=30,\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=120:
| |\overrightarrow{c}|=\sqrt{|\overrightarrow{a}|^{2}+\frac{1}{3}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\frac{1}{36}|\overrightarrow{b}|^{2}}=\sqrt{4^{2}+\frac{1}{3}\cdot 120+\frac{1}{36}\cdot 30^{2}}=\sqrt{16+40+25}=\sqrt{81}=9 |
Ответ: 9.